10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

§ 39. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ

Общее понятие функции. Обозначение функциональной зависимости

2247. 1) Какие первоначальные понятия положены в основу определения функции?
2) Сформулировать общее определение функции и указать, какая символическая запись употребляется для обозначения функциональной зависимости. В чем удобства этой записи?
3) Почему постоянную величину можно рассматривать как функцию некоторого аргумента?

2248. Даны две функции: f₁(х) и f₂(х) . Как записать, что значение  f₁(х)  при х = 3 равно значению f₂(х) при х = — 1?

2249. Дано уравнение f₁(х) = f₂(х). Как записать, что:
1) числа 0,5; —2 и 1 являются корнями уравнения;
2) число 0 не является корнем уравнения?

2250. Дана функция φ(х). Как записать, что:
1) число 5 является корнем данной функции;
2) при противоположных значениях аргумента данная функция принимает:
а) равные значения; б) противоположные значения?

2251. Дано: f (х) = х² + х + 41.
Найти f (0); f (1); f (2); f (—3); f (10); f (—7); f (40);  

2252. Дано: f (х) = √2x— 1 .
1) Найти f (0,5); f (5); f (х + 1); f (х²); lg  f (х); f (lg х).
2) Определить, при каких значениях х  f (х) = х.

2253. Дано: .
Определить φ (1); φ (0); φ (—2); 2φ (3); φ (х — 1); φ (2х); φ  (х²);
φ (х) — ¹/_φ(x);    | φ(х) |²;    √φ(—1,25);      φ (х₀ + h) — φ (х₀).

2254. Дано F (x) = 2^{х — 1}
Найти  F (1) ; F (2); F (3); F (0); F (— 4);
F (х + 1);       F (х — 1) • F (х + 1);        F (х — 2) : F (х — 1).

2255. Дано: g (х) = 1 + 2 lg (x — 2).
Найти g (3); g (12); g ( x + 2); g (x² + 2).

2256. Доказать, что если  f (х) = х² + х + а, то f (а — 1) = а² .

2257. Полагая  f₁(х) = √ х² — 4 и   f₂(х) = √ х² + 4 , показать, что
 f₁ (а + ¹/_a ) + f₂ (а — ¹/_a ) = 2а,   а >1.

2258. Дано: F (x) =  а^x + ¹/_ax.  Доказать, что F (— x) = F (х).

2259. Дано: Ф(х) = sin x + tg х . Доказать, что Ф( — х) = — Ф (х).

2260. Дано:  . Показать, что f  (¹/_x) = f  (х).

2261. Доказать, что если f (х)  = log₂ x, то

1) f (х • у) = f  (х) + f (у);     2)  f (^x/_y) = f  (х) —  f (у);   3) f (х^y) = у • f  (х).

2262. Какая из элементарных функций обладает свойствами:

1) f (1) = 0,   f (а)= 1,  f (х • у) = f  (х) + f ( у);
2) f (0) =1,   f (1) = a,   f (х + у) = f (х) • f ( у)?

2263. Полагая  f  (х) = sin х, φ(х) = cos х  и ψ (x) = tg x, показать, что:

2264. Дана функция у = D (х) (функция Дирихле), определяемая следующим образом:

D (х) = 1 , если х — рациональное число,
D (х) = 0, если х — иррациональное число.

Определить D (3); D (√3); D (0); D (π); D ( — 2 ¹/₇); D (0,3777...); D(sin1);
D (0,121121112...);  D (lg 9); D (— ^π/₄) — 4D(0,25).

2265. Дана функция E (х) = [х], где символ [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее число х (целая часть числа х).

1) Определить Е (2 ¹/₃); Е (π); Е (5); Е (0); Е (¹⁸/₅); Е (—1,7);
Е (— √2); Е (sin 1); Е (— sin 1); Е (2,5) — Е (—2,5).

2) Найти l так, чтобы равенство Е (х + l) = Е (х) + Е (l) выполнялось при любых значениях х.

ОТВЕТЫ