10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

§ 39. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ

Возрастание и убывание функции.
Наибольшее и наименьшее значение функции

2279. Можно ли сказать, что функция | х | возрастает:
1) при положительных значениях аргумента; 2) при всех значениях аргумента?

2280. Можно ли сказать, что функция 10^x возрастает во всей области ее определения?

2281. Является ли функция sin x монотонной на замкнутом интервале [0; 2π ]? Показать, что sin x возрастает на замкнутом интервале  [— ^π/₂; ^π/₂].

2282. Является ли cos x монотонной функцией на замкнутом интервале:
1) [0; ^π/₂]; 2) [0; π]; 3) [0; 2π]?
Показать, что cos x убывает на замкнутом интервале [0; π].

2283. Указать промежутки монотонного изменения каждой из следующих функций:
1) sin 2x;     2) tg ^x/₃;       3) cos (x + ^π/₆);        4) 2^{sin x}

2284. Определить, какие из функций:
1) x • sin x; 2) cos x + ¹/_x+1;  3) — 3 • tg ^x/₂,
заданных на замкнутом интервале 0; ^π/₂ , являются возрастающими и какие убывающими.

2285. Показать, что ³√ sin x есть функция возрастающая на замкнутом интервале
[0; 0,5π] и убывающая на интервале [0,5π; π].

2286. Исследовать на возрастание и убывание функцию cos (1 — х) на замкнутом интервале [0; 1].

2287. Определить, возрастает или убывает функция:
2) ^{ctg x}/_x  на замкнутом интервале [ ^π/₄; ^π/₂];
3) 2^{sin x} на замкнутом интервале [0; ^π/₂] ;
4) cos³ x на замкнутом интервале [0; ^π/₂] ;

2288. Как изменяются функции 1) lg sin х и 2) lg cos x при возрастании аргумента х от
0 до 0,5π?

2289. 1) Как изменяется функция 1 — cos x при изменении аргумента от 0 до 2π?
При каких значениях х в указанном промежутке эта функция принимает наибольшее и наименьшее значения? Вычислить эти значения функции.

2) Ответить на аналогичные вопросы относительно функций:
а) 1 + 2 sin x;        б) 10^{sin x}.

2290. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
1) arccos (sin x);  2) 2^{cos x}.

2291. 1) При каких значениях аргумента х на замкнутом интервале [0; 2π] функция
sin (cos х) принимает наибольшее значение и при каких наименьшее? Пользуясь таблицами натуральных значений тригонометрических функций, найти эти значения.

2) Ответить на аналогичные вопросы относительно функций:
а) 1 — cos (sin х); б) tg (sin x).

2292. Какие из следующих функций являются ограниченными и какие неограниченными:

1) х + cos х;         2) sin х • cos 2х;         3) х • sin x;

4)         1
       1— cos x ;        5) tg (sin x);                 6) 5^{cos x} ?

2293. Найти область изменения каждой из следующих функций:

ОТВЕТЫ