10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
§ 39. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ
Четные и нечетные функции
2294. 1) Привести примеры четных функций. Какой особенностью обладает график четной функции?
2) Привести примеры нечетных функций. Каким свойством обладает график нечетной функции?
3) Привести примеры функций, которые не являются ни четными, ни нечетными.
2295. Показать, что если функция f (х) определена для всех действительных значений аргумента х, то функция f (х) + f (— х) четная, а функция f (х) — f (— х) нечетная.
2296. Четной или нечетной функцией является сумма (разность):
1) двух четных функций; 2) двух нечетных функций?
2297. Доказать, что:
1) произведение двух четных или нечетных функций есть функция четная;
2) произведение четной и нечетной функций является функцией нечетной.
2298. Какие основные тригонометрические функции являются четными; нечетными? Какими равенствами можно выразить свойство четности и нечетности тригонометрических функций?
2299. Показать, что следующие функции являются четными:
2300. Показать, что следующие функции являются нечетными:
1) x/x; 2) x + sin xr, 3) sin 2x + arcsin x; 4) 2x —2— x
2301. Определить, какие из следующих функций являются четными, какие нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:
10) sin x • cos 2x; 11) sin (cos 2x); 12) 3√1 + x + 3√1 — x .
2302*. Показать, что любую функцию f (х) , определенную для всех действительных значений аргумента, можно представить в виде суммы четной функции φ (х) и нечетной функции ψ (х) .
2303*. Показать, что:
1) если четная функция f (х), определенная на всем множестве действительных чисел, в интервале (0, + ∞) возрастает (убывает), то в интервале (— ∞, 0) она убывает (возрастает);
2) если нечетная функция ψ (х), определенная на всем множестве действительных чисел, в интервале (0, + ∞) возрастает (убывает), то в интервале (— ∞, 0) она также возрастает (убывает).
ОТВЕТЫ
