10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
§ 39. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ
Периодические функции
2304. 1) Проверить справедливость равенства sin 5π/4 = sin ( 5π/4 + π/2 ) .
Можно ли на основании этого равенства утверждать, что число π/2 является периодом функции sin x?
2) Проверить справедливость равенства cos π/2 = cos (π/2 + πk ) , где k = 0; ± 1; ± 2;... .
Можно ли на основании этого равенства утверждать, что число π является периодом функции cos х?
2305. 1) Чему равен наименьший положительный период синуса; коснуса, тангенса; котангенса? Какими равенствами можно записать свойство периодичности функций:
sin х; cos х; tg x; ctg х?
2) Доказать, что: а) период sin пх и cos nх равен 2π/n (п — некоторое положительное число); б) период tg nx и ctg nx равен π/n (п — некоторое положительное число).
2306. Какие из следующих функций являются периодическими:
1) 1 + sin х; 2) х + sin х; 3) tg х — 1; 4) cos πх;
5) 
6) sin2 х, 7) sin | х |; 8) х + cos х;
9) sin (cos х); 10) tg (sin х)?
Найти наименьшие положительные периоды функций.
2307. 1) 0,5 sin x; 2) cos (x — π/6), 3) cos π/n ; n > 0; 4) sin πх.
2308. 1) sin x/3 + cos x/3 ; 2) sin x + tg x; 3) sin x • cos x; 4) cos2 x.
2309*. Дана функция у = x — | x |.
1) Доказать, что данная функция является периодической и найти наименьший положительный период этой функции.
2) Построить график данной функции.
2310*. Выполнить то же задание (задача 2309) относительно функций:
1) у = (х — 2п)2; 2п — 1 < х < 2п + 1, п = 0; ± 1; ± 2;... .
ОТВЕТЫ
