10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
§ 40. ОБЗОР СВОЙСТВ И ГРАФИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
Дробно-линейная функция
2322. Дана функция у = k/x, где k =/= 0.
1) Установить область определения этой функции.
2) Выяснить, при каких значениях аргументам функция у принимает положительные значения; отрицательные значения. Рассмотреть случаи, когда k > 0 и k < 0.
3) Указать интервалы возрастания и убывания функции.
4) Доказать, что:
а) для достаточно больших по абсолютной величине значений х (при х —> — ∞ и при х —> + ∞) значения у по абсолютной величине могут сделаться меньше любого положительного числа;
б) для достаточно близких к 0 значениях х значения у становятся сколь угодно большими по абсолютной величине. Какой геометрический смысл имеют эти свойства функции?
5) Доказать, что функция у нечетная. Какое заключение можно сделать о центральной симметрии графика данной функции?
6) Показать, что функция у = k/x и обратная ей совпадают. Как использовать это свойство функции для доказательства симметричности ее графика (гиперболы) относительно прямой у = х?
7) Доказать, что прямая у = — х также является осью симметрии гиперболы.
8) Какие точки гиперболы называются ее вершинами? Найти координаты вершин гиперболы у = k/x.
9) Построить гиперболу, полагая: a) k = 1; б) k = — 6; в) k = 12.
10) Как изменяется положение ветвей гиперболы относительно осей координат:
а) в зависимости от знака параметра k; б) при изменении абсолютной величины k?
2323. Доказать, что: 1) график функции у = 1/x + 2 можно получить при помощи параллельного переноса гиперболы у = 1/x в направлении оси ординат на две единицы масштаба вверх;
2) график функции 
можно получить при помощи параллельного переноса гиперболы у = 1/x в направлении оси абсцисс на две единицы масштаба вправо.
Найти уравнение асимптот каждой из указанных гипербол.
2324. Дана функция 
.
1) Привести данное уравнение к виду 
2) Составить уравнения асимптот гиперболы и определить координаты вершин гиперболы.
3) Построить схематически гиперболу (сравнить с рис. 69).
2325. Пользуясь указаниями, данными в задаче 2324, построить графики функций:
ОТВЕТЫ