10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

§ 40. ОБЗОР СВОЙСТВ И ГРАФИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ

Квадратичная функция

2326. Дана функция у = х².
Доказать, что:
1) при любых значениях аргумента х функция у неотрицательна (у > 0);
2) в интервале ( — ∞, 0) функция убывает, в интервале (0, + ∞) возрастает;
3) при х = 0 функция у принимает свое наименьшее значение, равное 0;
4) функция  у = х² является четной и ее график симметричен относительно оси ординат;
5) исходя из установленных свойств функции  у = х², построить ее график; уточнить график функции построением некоторых контрольных точек.

2327. 1) Исследовать функцию у = — х², внося соответствующие изменения в указания, данные в задаче 2326.
2) Показать, что график функции у = —х² является параболой, симметричной параболе у = х² относительно оси абсцисс.

2328. Показать, что:
1) график функции у = ах² образуется посредством растяжения (если а > 1) или сжатия (если 0< а < 1) в а раз всех ординат параболы у = х²;
2) график функции у = х² + с можно получить при помощи параллельного переноса параболы у = х² вдоль оси ординат на с единиц масштаба вверх, если с > 0, или вниз, если с < 0;
3) график функции у = (х + т)² можно получить посредством параллельного переноса параболы у = х² вдоль оси абсцисс на т единиц масштаба вправо, если т < 0, или влево, если т > 0.

2329. Указать, каким преобразованиям надо подвергнуть параболу у = х², чтобы получить график функции:

1) у = (х + 1)² + 2;      2) у = (х — 3)² — 4;      3) у = (3 — х)² + 1;
4) у = 9 — (х + 2)²;    5) у = 2 (х—2)²— 8;       6)   .

2330. Дана функция у = х² + 6х + 5.
1) Привести данное уравнение к виду у = (х + т)² + с и убедиться, что графиком данной функции является парабола.
2) Определить координаты х₀ и у₀ вершины этой параболы. Какое экстремальное значение (максимум или минимум) имеет функция в точке (х₀;  у₀)?
3) Выяснить, пересекает ли парабола ось х. Найти абсциссы точек пересечения.
4) Найти ординату точки пересечения параболы с осью у и координаты симметричной ей относительно оси параболы точки графика.
5) Построить схематически график функции у = х² + 6х + 5 и по графику указать промежутки знакопостоянства функции и промежутки возрастания и убывания функции.

2331. Используя указания, данные в задаче 2330, исследовать функции и построить их графики:

1) у = 0,5х² + 3х + 2,5;         2) у = — 2х² + 7х — 3;
3) у = — х² + 2х — 3;          4) у = | х² + 6х + 5 |;
5) у =  х² — 6 | х | + 5;         6) у = (5 — | х |) • (1 + х),

2332. Даны функции: f (х) = (х + 1) (х — 1) и  .
На одном и том же чертеже построить графики этих функций и определить по графику, при каких значениях х имеет место соотношение:

1) f (х) = φ (х);        2) f (х) > φ (х);          3) f (х) < φ (х).

ОТВЕТЫ