10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

§ 40. ОБЗОР СВОЙСТВ И ГРАФИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ

Степенная функция

2333. Дана функция у = х^r, где r — рациональное число.
1) При каких r данная функция будет определена:
а) на всей числовой прямой;
б) только на интервале (0; + ∞)?
Чем отличаются друг от друга области определения функций у = х^r,  r > 0 и у = х^{— r}?

2) Показать, что при любом r > 0 график функции у = х^r проходит через начало координат и точку (1; 1). Проходит ли через указанные точки график функции у = х^rпри r < 0 ?

3) Доказать, что в интервале (0; + ∞) функция у = х^r возрастает. Сравнить значения функций у = х^r и у = х, соответствующие одним и тем же значениям аргумента на интервалах (0; 1) и (1; + ∞), рассмотрев случаи, когда r > 1 и 0 < r < 1. Какое заключение можно сделать из этих сравнений о положении графика степенной функции в указанных интервалах относительно биссектрисы первого координатного угла?

4) Доказать, что степенная функция у = х^r на интервале (— ∞; 0) возрастает, если показатель степени r — нечетное число или несократимая дробь с нечетными числителем и знаменателем, и убывает, если r — четное число или несократимая дробь с четным числителем.

5) Выяснить, в каких случаях график степенной функции имеет ось или центр симметрии.

2334. Исследовать следующие функции и построить их графики.

1) у = х • | х |;         2) у = (1 — х)³;         3) у =  х⁴ —2;

4) у = | х³ | + 1;      5) у = (х + 2) ^{— 2};       6) у = х^{— 3};

7) у = (х + 1)^2/3 ; 8) у = (х + 1)^3/2.

ОТВЕТЫ