10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

§ 40. ОБЗОР СВОЙСТВ И ГРАФИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ

Основные тригонометрические функции

2338. Дана функция у = sin x.

1) Какова область определения функции?

2) Показать, что функция у = sin x является ограниченной функцией, и указать область изменения этой функции. При каких значениях х функция: а) обращается в нуль; б) принимает свое наименьшее значение; в) принимает свое наибольшее значение?

3) Выяснить, как изменяется значение функции у при замене произвольного значения аргумента х противоположным ему значением — х.

4) Доказать, что: a) sin (x + 2πk) = sin х; б) sin (х + π)  = — sin х.

5) Выделить промежутки монотонного изменения функции и промежутки знакопостоянства.

6) Построить схематически график функции и проиллюстрировать на нем свойства функции.

2339. 1) Исследовать функцию у = cos x, используя указания задачи 2338.

2) Показать, что график функции у = cos x есть синусоида, сдвинутая влево на  ^π/₂ единиц масштаба.

2340. Дана функция у = tg x.

1) Каковы области определения и изменения этой функции?

2) Доказать, что: a) tg (x + πk) = tg х; б) tg (— х) = — tg x.

3) Выделить промежутки монотонного изменения функции и промежутки знакопостоянства. i

4) Построить схематически график функции у = tg x и проиллюстрировать на нем свойства тангенса.

5) Написать уравнения асимптот графика функции у = tg x.

2341. 1) Исследовать функцию у = ctg x, внося соответствующие изменения в указания, данные в задаче 2340.

2) Показать, что график функции у = ctg x есть тангенсоида, отраженная зеркально в оси абсцисс и сдвинутая по этой оси на ^π/₂ единиц масштаба вправо.

2342. Показать, что sin х < х < tg x, если 0 < х < ^π/₂.

ОТВЕТЫ