10 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

§ 40. ОБЗОР СВОЙСТВ И ГРАФИКОВ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ

Обратные тригонометрические функции

2343. 1) Дать определение функции у = arcsin х.
2) Указать области определения и изменения этой функции.
3) Чему равно выражение sin (arcsin x)?
4) Как изменяется функция arc sin x при изменении х на интервале [—1; 1]?
5) При каких значениях аргумента х функция arcsin x принимает положительные значения; отрицательные значения; равна нулю?
6) Как изменяется значение arcsin х при изменении знака аргумента на противоположный?
7) Построить график функции у = arcsin x.

2344. Исследовать функции: 1) у = arccos х; 2) у = arctg x; 3) у = arcctg x, внося соответствующие изменения в указания, данные в задаче 2343.

2345. Известно, что   — ^π/₂ < arcsin x <  ^π/₂    и   — ^π/₂< arctg х <  ^π/₂. Почему arcsin х может принимать значения ± ^π/₂ , a arctg x этих значений принимать не может?

2346. Доказать тождества:

1) arcsin х + arccos х = ^π/₂,    — 1 < х < 1;
2) arctg х + arcctg х = ^π/₂.

Привести геометрические пояснения для случаев: х > 0 и х < 0.

2347. Какая разница между функциями:

1) у = cos (arccos x) и у = х;

2) у = cos [arccos (— х)]   и   у = — x?   Показать на чертеже.

2348*. Доказать:

1) cos (arcsin x) = √1 — х²  • | х | < 1;

2) tg (arccos x) = .   x =/= 0,  | х | < 1.

2349. Дать геометрическое истолкование соотношению

sin (arccos x) = √1 — х²  • | х | < 1.

ОТВЕТЫ