11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

§ 42.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ

Понятие о производной

2396. Дана функция у = х².
1) Найти отношение ^{Δ y}/_{Δ x} при х = 2 и Δ х = 0,1. Что выражает собой это отношение?
2) Показать, что  =  4. Изменится ли значение , если из точки х = 2 перейти к другому значению аргумента х?

2397. Если переменные х и у, каждая из которых имеет определенный физический смысл, связаны уравнением у = f (х), то:
1) что выражает отношение ^{Δ y}/_{Δ x} при данном значении аргумента х;
2) как определяется скорость изменения функции при данном значении аргумента?

2398. Найти производную функции:

1) у = х² — 3х + 2   при:     а) х = 2;      б) х = —3.
2) у = | х |   при:   а) х = 1;   б) х = 2;       в) х = — 2.

Имеетли функция у = | х | производную в точке х = 0? Почему?

2399. 1) Дана функция f (х) = 6х² . Найти  f ' (1);  f ' (2);  f ' (—²/₃).
2) Дана функция  F (х) = х³— ^x/₂. Найти F'(0); F'(1); F' (—2).

2400. Дана функция у = ³/_x . Найти  ^dy/_dx в точке х = 1. При каком значении аргумента
х эта функция не имеет производной?

2401. Дана функция f (х) = х².
1) Показать, что для этой функции справедливо равенство  f ' (а + b) =  f ' (a) +  f ' (b).
2) Определить, при каком значении х справедливо соотношение f (х) = f '(х) .

Найти производные следующих функций, пользуясь определением производной.

2402. 1) у = 4х²;      2) у = ^x/₂ + 7;
          3) у = 2х³;      4) у = 0,5 х² — х³.

2403.     

2404. Точка движется прямолинейно по закону s = f (t) = t³ — t.
1) Вывести формулу, выражающую скорость движения точки для любого момента времени t. Какая существует связь между скоростью движения точки в момент t и производной пути s по времени t?
2) Вычислить скорость движения точки в момент времени t = 1; t = 4. .

2405. Угловую скорость равномерного вращения определяют как отношение угла поворота φ к соответствующему промежутку времени t. Если вращение протекает неравномерно, то угол поворота φ будет являться некоторой нелинейной функцией времени t:
φ = f (t) .

1) Дать определение средней угловой скорости вращения за промежуток времени от момента  t₁ до момента  t₂.

2) Дать определение угловой скорости неравномерного вращения в момент времени
 t =  t₁. Какая существует связь между угловой скоростью вращения в момент времени  t₁ и производной функции φ = f (t)  в точке  t₁?

2406. Угол φ поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону φ (t) = 2t² — 3t + 1. Вывести формулу для вычисления угловой скорости ω тела в любой момент времени t и вычислить ее при t = 5 сек.

2407. Маховик, задерживаемый тормозом, за t сек поворачивается на угол
φ (t)  = 8t — 0,5t² .

1) Определить угловую скорость ω вращения маховика в момент времени t = 3 сек.
2) С какого момента времени вращение маховика прекратится?

2408. Удельной теплоемкостью вещества называется количество теплоты, которое надо сообщить единице массы этого вещества, чтобы повысить ее температуру на 1°С. Опытом установлено, что при нагревании 1 г некоторого вещества от 0 до Т°С потребовалось Q малых калорий, причем величина Q изменялась по закону Q = F (Т).

1) Найти среднюю удельную теплоемкость вещества в интервале (T; Т + Δ T).
2) Найти удельную теплоемкость вещества при температуре Т. Какая существует связь между удельной теплоемкостью вещества при данной температуре Т и производной от количества тепла Q по температуре T?

2409. Количество теплоты Q, необходимое для нагревания 1 г воды от 0 до 7°С, определяется формулой Q = Т + 0,000027² + 0,0000003 Т³ (калорий).

1) Найти среднюю удельную теплоемкость воды в интервале (50°; 100°).
2) Узнать удельную теплоемкость воды при Т = 50° и при Т = 100°.

2410. Сила постоянного тока определяется как количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в единицу времени. Зная, что за промежуток времени от t₁ до t₂ через поперечное сечение проводника прошло q кулонов электричества и что величина q является некоторой функцией переменного t: q = f (t), найти:

1) среднюю силу переменного тока за промежуток времени от t₁ до t₂;
2) силу переменного тока в момент времени t.

Какая существует связь между силой переменного тока в момент времени t и производной от количества протекшего электричества по времени?

2411. Количество электричества, протекшее через проводник начиная с момента
t = 0, выражается формулой q (t) = 3t² — 2t (кулонов). Вывести формулу для вычисления силы тока i в любой момент времени t и вычислить силу тока в конце 6-й секунды.

2412. Зависимость количества вещества М, вступившего в химическую реакцию, от времени t выражается уравнением М = f (t).

1) Что следует понимать под средней скоростью данной химической реакции за промежуток времени от t₁ до t₂?
2) Как найти скорость химической реакции в любой момент времени t ?

2413. Если бы процесс радиоактивного распада протекал равномерно, то под скоростью распада следовало бы понимать количество вещества, разложившегося в единицу времени. На самом деле процесс протекает неравномерно. Считая, что количество граммов вещества R, разложившегося за t сек, изменяется по закону R = f (t), найти:
1) среднюю скорость радиоактивного распада за промежуток времени от момента t₁ до момента t₂;
2) скорость радиоактивного распада в момент t.

ОТВЕТЫ