11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

§ 42.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ

Геометрический смысл производной. Касательная к кривой

2414. 1) Построить график функции у = 0,5 х2 и отметить на полученной кривой точку М с абсциссой х = 2.
2) Придав абсциссе х приращение Δ х = 0,5, отметить на кривой точку N с абсциссой
хΔ x.
3) Построить секущую MN и показать, что ее угловой коэффициент равен отношению Δ y/Δ x .
4) Выяснить, как будет изменяться взаимное расположение точек М и N кривой, если Δ x —> 0. Как при этом же условии будет изменяться положение секущей на координатной плоскости? Как называется предельное положение секущей MN, занимаемое ею в тот момент, когда точка N сольется с точкой М?
5) Найти угловой коэффициент касательной к кривой в точке х = 2. Какая существует связь между этим угловым коэффициентом и производной функции в точке х = 2?

2415. Дать общее определение касательной к кривой у = f (х) в данной точке и показать, что известное из курса элементарной геометрии определение касательной к окружности является частным случаем этого общего определения касательной.

2416. Какой геометрический смысл имеет производная f '(x) в данной точке?

2417. На кривой у = х2 взяты точки, абсциссы которых равны соответственно 2 и 3.

1) Найти угловой коэффициент секущей, проходящей через эти точки.
2) Найти угловой коэффициент касательной к кривой в каждой из указанных точек.
3) Доказать, что касательная к параболе у = х2 в точке М (рис. 71) проходит через середину  Т отрезка ОР оси абсцисс. Указать вытекающий отсюда прием практического построения касательной к параболе в любой ее точке.

2418. Используя результаты, полученные при решении упражнений 2402 и 2403, найти угловые коэффициенты касательных к кривым в указанных точках.

1) у = 4х2 в точке, абсцисса которой равна:        а) 1;    б) —2;
2) у = x/2 + 7 в точке, абсцисса которой равна:   а) 0;    б) 10;
3) у = 2х3 в точке, абсцисса которой равна:        а) 1/2;  б) — 1;
4) у = √x в точке, абсцисса которой равна:          а) 4;    б) 0,9.
В каждом случае написать уравнение касательной к кривой.

2419. На кривой, определяемой уравнением у = х2 — 2х, найти точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

2420. В какой точке кривой у = √x касательная наклонена к оси X под углом в 45°?

2421. Найти угловые коэффициенты касательных к кривой у = х2 — х — 2 в точке пересечения этой кривой с осью абсцисс.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz