11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 43. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ФОРМУЛАМ
Производная степени. Производная многочлена
2432. Пользуясь теоремой о дифференцировании произведения, найти производные следующих функций:
1) у = х2; 2) у = х3; 3) у = х4; 4) у = х5 .
2433. 1) Доказать формулу
(хn)' = п • х n —1, где п — натуральное число.
2) Пользуясь определением производной, показать, что доказанная формула справедлива и в случаях, когда: а) п = —1; б) п = 1/2.
Можно ли применять эту формулу для дифференцирования степеней с любым действительным показателем?
2434. 1) Дано: k = πR2. Найти dk/dR .
2) Дано: v = 4/3 πR3. Найти dv/dR.
Найти производные следующих функций:
2435. 1) у = х7; 2) у = 2х5 ; 3) у = — 3х4; 4) у = 2/3 х6
2436. 1) у = 5х2 + 3х—2; 2) у = 1/3 х3 —х2 + 4х;
3) у = 0,2х5 —2х3 —0,5х2—10; 
2437. 1) у = х2 (5х — 1); 2) у = (х3 — 2) ( х2 + 1);
3) y = ( 
+ 2) (2х2 — 3х); 4) у = (1 — х3) (х —5) (х2 + 2х).
2438. 1) у = х —2; 2) у = 1/x3 ; 3) у = 5/x2 ; 4) y = 1/2x4 .
2439. 1) y = x + 1/x; 2) y = 1/x2 — 1/x3 — 1/x4 .
3) y = 2/x2 — 3/x3 ; 4) 
2440. 
3) y = 3√x2 ; 4) y = 5√x3 .
2441. 1) у = х + 2√x; 2) у = 4 4√x — 6 3√x2 ;
2442. 1) Дано: 
. Найти ds/dt.
2) Дано: f (t) = 2t4 — t. Найти f ' (5).
3) Дано: F (s) = s2 (s — 2). Найти F'(— 2).
4) Дано: φ (r) = 5/6 r6 —2r3 + r. Найти φ' (— 1).
2444. Закон прямолинейного движения точки выражен уравнением
s = f (t) = 4 + 12t — 0,25t2.
Найти скорость точки в момент времени t = 8. В какой момент времени тело остановится?
2445. Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v0 м/сек, за t сек проходит расстояние s (в метрах), равное s = v0t — 4,9 t2.
Пренебрегая сопротивлением воздуха и полагая v0 = 98 м/сек, определить:
а) скорость движения тела в моментвремени t = 10 сек;
б) через сколько времени тело достигнет наивысшей точки подъема.
2446. Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону φ (t) = 0,1t2 — 0,5t + 0,2. Найти угловую скорость вращения тела в момент времени
t = 20 сек.
2447. В тонком однородном стержне АВ длиной 45 см масса т (в граммах) распределена по закону т = 3l2 + 5l, где l — длина части стержня (в сантиметрах), отсчитываемая отточки А. Найти линейную плотность стержня:
1) в точке A; 2) в точке, отстоящей от А на расстоянии l = 10 см; 3) в точке В.
2448. 1) Написать уравнение касательной к кривой у = 2 — x/2 — х2 в точке пересечения ее с осью ординат.
2) Прямая у = — 3х + 1 параллельна касательной к параболе у = х2 — х. Найти координаты точки касания.
2449. Доказать, что если функция f (х) имеет производную для определенного значения аргумента х, то для этого значения х имеет место равенство
[f n (х)]' = п • f n —1 (х) • f '(х), где п — натуральное число.
Найти производные следующих функций:
2450. 1) у = (2х — 5)3; 2) у = (3 — x )5;
3) у = (4х2 — х)3; 4) у = (2 — 3х)2 • (х —1).
ОТВЕТЫ
