11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 43. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ФОРМУЛАМ
Производные синуса и косинуса
2452. Пользуясь определением производной, доказать следующие формулы:
1) (sin х)' = cos х; 2) (cos х)' = — sin х.
Найти производные следующих функций:
2453. 1) y = sin х + cos х; 2) у = х — sin х;
2454. 1) у = х • sin х; 2) у = х • cos x;
3) у = sin х • cos x; 4) у = sin 2x.
2455. 1) у = sin2 х; 2) у = cos2 x;
3) у = cos 2х; 4) у = sin3 х — cos3 x.
2456. 1) у = sin4 x + cos4 x; 2) у = 3 sin x — 4 sin3 x;
3) у = 4 cos3 x — 3 cos x; 4) у = sinn x — cosn x;
5) у = cos х — 1/3 cos3 x.
2457. 1) у = tg x — ctg x; 2) у = х • ctg x;
3) y = ( 1 + sin2 x)— ( 1 + cos2 x); 
5) y = ( 1 — sin x)3; 6) у = 1— tg3 x — tg x — x.
2458. Найти угловой коэффициент касательной к кривой в указанной точке.
1) у = sin x в точке, абсцисса которой равна π;
2) y = cos x в точке, абсцисса которой равна 3π/2;
3) у = sin2 x в точке, абсцисса которой равна π/8;
4) y = cos2 x в точке, абсцисса которой равна 5π/12.
2459. Исходя из определения производной функции, доказать формулы (а, b — постоянные):
2460. 1) Почленным дифференцированием соотношения sin 2х — 2 sin х • cos х доказать формулу cos 2х = cos2 х — sin2 x.
2) Почленным дифференцированием соотношения sin 3х = 3 sin x — 4 sin3 х доказать формулу cos 3x = 4 cos3 х — 3 cos x.
Найти производные следующих функций:
2461. 1) у = 2 sin x/2; 2) у = 1/3 cos 3x;
3) у = sin 5x/5 — 5 cos x/2; 4) у = х2 + cos (х — 1).
2462. 1) у = cos (2 — 3х) + sin (2 — 3x); 2) у = х2 sin (х — π/4);
3) у = sin (х — 1) — cos 2(х — 1); 4) у = 2 sin2 3х.
2463. 1) у = х cos 5х; 2) у = sin (3x — 2) • cos (2x — 3);
3) у = tg 4х; 4) у = x ctg x/2.
2464. 1) у = (2 — sin 2x)2 ; 2) у = (3 — sin 3х) • (3 — cos 3х);
3) у = 10 — х sin2 x/2 — cos3 x/2; 4) у = (4 sin х — cos 2х)3.
2465. На кривой у = cos 2x найти точку, в которой касательная параллельна оси абсцисс.
ОТВЕТЫ
