11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 43. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ФОРМУЛАМ
Понятие о второй производной. Ускорение
Найти вторую производную следующих функций:
2466. 1) у = х2; 
3) у = 5х2 + 4х — 3; 4) у = (2х — 1) (3х2 — 2).
2467. 1) у = хn; 2) у = х—2; 3) у = х0,5; 4) у = 3√x2 .
2468. 1) у = х3 + 1/x; 2) у = 3√x — х;
3) у = 1/x— 1 4) у = (х2 + 1)3.
2469. 1) у = sin х; 2) у = cos х;
3) у = sin 2х; 4) у = cos (π/8 — 3х)
2470. 1) у = sin x/2 — cos x/2; 2) у = х2 — sin2 x;
3) у = cos2 3х — 3х; 4) у = (1 — 2х)3.
2471. Убедиться, что функция f (t) = A sin (ωt + φ) + В cos (ωt + φ) удовлетворяет соотношению f ''(t) + ω2 f (t)= 0.
2472. По данным задачи 2393 найти:
1) среднее ускорение движения в промежутке времени (t; t + Δ t);
2) ускорение в момент времени t. Какая существует связь между ускорением в момент времени t и второй производной от пути s по времени t?
2473. Точка движется прямолинейно со скоростью v = (3t2 — 1) м/сек.
1) Найти среднее ускорение движения за промежуток времени от t = 2 до t = 2 + Δ t, полагая Δ t = 2; 1; 0,1; 0,01; 0,001.
2) Определить ускорение движения в момент t = 2.
3) Вывести формулу ускорения в любой момент времени t.
2474. Дано уравнение прямолинейного движения точки
s = t3 + 2t — 1.
1) Найти скорость движения точки в любой момент времени t.
2) Найти ускорение движения точки в любой момент времени t.
2475. Точка движется прямолинейно, причем S = 2/9 sin πt/2 + S0 (см). Найти ускорение точки в конце 3-й секунды.
2476. Точка движется прямолинейно по закону S = 1/12 t 4 — 5/6 t3 + 2t2 (см).
1) Найти ускорение в момент времени t.
2) В какой момент времени ускорение будет равно: а) 0; б) — 2 см/сек2?
2477. Тело массой в 2 кг движется прямолинейно по закону
s = f (t) = t2 + t + 1,
где s — путь в сантиметрах, t — время движения в секундах.
Определить: 1) действующую силу; 2) кинетическую энергию W тела через 2 сек после начала движения.
ОТВЕТЫ
