11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 44. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Признаки возрастания и убывания функции
2478. 1) Дать определение функции, возрастающей в интервале (а, b); убывающей в интервале (а, b).
2) Привести примеры функций, которые во всей области определения: а) возрастают; б) убывают.
2479. 1) Построить график функции у = cos x и указать промежутки возрастания и убывания функции.
2) Выполнить то же задание для функции у = 1 — (1 — х)2.
2480. 1) Если функция возрастает в интервале (а, b), то положительными или отрицательными числами будут угловые коэффициенты касательных к графику функции в точках, принадлежащих интервалу.
2) Ответить на тот же вопрос относительно функции, убывающей в интервале (а, b).
2481. 1) Какой знак имеет производная в точках возрастания функции; в точках убывания функции? Каковы необходимые условия возрастания и убывания функции в интервале (а, b)?
2) Сформулировать достаточные признаки возрастания и убывания функции в интервале (а, b). Привести примеры, иллюстрирующие эти признаки.
2482. Известно, что функция у = sin x возрастает в интервале (— π/2; π/2), Показать это, исследуя знак производной функции в интервале (— π/2; π/2).
2483. Доказать, что функция у = (х — 1)2 возрастает в интервале (1; + ∞) и убывает в интервале (— ∞; 1). Пояснить изменение функции на графике.
2484. Показать, что: 1) функция у = x3 + х возрастает в любом промежутке;
2) функция у = 1/x убывает в интервалах (— ∞; 0) и (0; + ∞).
2485. Доказать, что функция у = √2х — х2 возрастает в интервале (0; 1) и убывает в интервале (1; 2).
2486. 1) Дана функция у = х2 — 2х. Выяснить, возрастает или убывает эта функция при значении аргумента: а) х = 0,9; б) х = 1,1.
2) Выполнить то же задание для функции у = — х2 + х — 1 при значении аргумента:
а) х = 0; б) х = 1.
2487. Доказать, что если а > 0, то функция у = ах2 + bх + с в интервале (— ∞;— b/2a)
убывает, а в интервале (— b/2a; + ∞) возрастает. Указать промежутки возрастания и убывания функции при а < 0.
2488. Указать промежутки возрастания и убывания функций:
1) у = — х2 + 4х + 1; 2) у = 1/3 х3 — 1/2 х2 — 2x + 3;
3) у = x4/4 — x3/3 + 1/2 ; 4) у = 1/2 sin 2х, для 0 < x < π .
2489. Исследовать на возрастание и убывание следующие функции:
1) у = 2 — х — х2; 2) у = х — 2 | х |;
3) у = 1/3 х3 — 2х2 + 3x — 4; 4) у = √ | х | ;
5) у = sin х — х; 6) у = х — cos x.
ОТВЕТЫ
