11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 44. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Формула бинома Ньютона
2529. Последовательно дифференцируя каждую часть тождества
(а + х)4 = С0 + C1x + С2x2 + С3x3 + C4x4
и сравнивая числовые значения полученных выражений при х = 0, найти коэффициенты С0, С1, С2, С3, С4.
2530. Пользуясь указанием к задаче 2529, найти разложение биномов:
1) (х — 1)4 ; 2) (х + 2)5; 3) (b + х)6;
4) (а — x)6 ; 5) (а + х)п, где п — натуральное число.
2531. Найти:
1) шестой член разложения (a/b — b/a )11;
2) четвертый член разложения ( √x — 3√x )9;
3) средний член разложения (х — у)14;
4) коэффициент при х3 в разложении ( √x + 1/ 3√x )16 ;
5) коэффициент при х4 в разложении (x2 + a3/x )5
2532. Найти:
1) член разложения (х + 1/x)6, не зависящий от х ;
2) член разложения (х2 + 1/x)10 , содержащий х11.
2533. Коэффициент при а в третьем члене разложения (a — 1/3 )п равен 5. Найти средний член этого разложения.
2534. Найти х, если пятый член разложения (х1/2 + х—1 )6 равен 5/9.
2535. Найти все рациональные члены разложения бинома
( 3√x + 1/√x )12
2536. Найти наибольший член разложения бинома (1 + √2 )50.
2537. Доказать, что наибольший коэффициент разложения (а + b)2n есть число четное.
2538. Доказать, что: 1) 1110 — 1 делится на 100;
2) 62n — 1 делится на 35.
2539. Пользуясь формулой бинома Ньютона, вывести признаки делимости чисел на 9 и 11.
2540. Зная, что формула бинома Ньютона верна для любых действительных значений показателя п бинома, написать разложение бинома (1 + х)n для следующих значений п:
1)—1;—2;—3; 2) 1/2; 1/3; 1/4; 3) — 1/2; — 1/3;— 1/4.
2541. Доказать справедливость приближенных равенств при достаточно малом х:
1) ( 1 + х )п ≈ 1 + nx; 2) (1+ x)—1 ≈ 1 — х;
3) ( 1 + х )1/2 ≈ 1 + 1/2 х; 4) ( 1 + х )1/3 ≈ 1 + 1/3 х;
5) ( 1 + х )—1/2 ≈ 1 — 1/2 х; 6) ( 1 + х )1/n ≈ 1 + 1/n х;
B каждом случае найти абсолютную погрешность, допускаемую при пользовании формулами.
2542. Вычислить по формулам приближения и найти абсолютную погрешность вычислений:
1) (1,003)4; (0,998)6; (1,07)7 ; (2,98)9.
2) √78 ; 1/ 3√130 ; 3√0,991; 3√39, 5√200
3) 5√30 + 4√84; 12•138—1/2 —2•38—1/5.
Задачи для контрольных работ
2543. 1) Угол φ поворота шкива вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону φ = t2 + 3t — 5 (единица времени — секунда, единица угла— радиан). Вывести формулу для вычисления угловой скорости шкива в любой момент времени t и вычислить ее при t = 2 сек. В какой момент времени t угловая скорость вращения шкива будет равна 9 рад/сек?
2) В какой точке кривой у = 0,5 х2 + 2х касательная наклонена к оси абсцисс под углом в 45°?
2544. 1) Количество электричества q, протекающее через проводник начиная с момента t = 0, выражается формулой q = 2t2 — 3t + 1 кулонов. Вывести формулу для вычисления силы тока i в любой момент времени и найти силу тока в конце седьмой секунды.
2) Определить углы наклона касательных, проведенных к кривой у = х2 — 3х + 2 в точках пересечения этой кривой с осью абсцисс.
2545. 1) Дано: f (х) = (2х — 1) • (х2 + х + 1). Найти f ' (— 1); f "(0).
2) Тело массой в 5 кг движется прямолинейно по закону s = t2 — 2t + 1 (s — путь в сантиметрах, t — время в секундах). Определить: а) действующую силу; б) кинетическую энергию тела (mv2/2 ) через 3 сек после начала движения.
3) Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = sin2 x в точке, абсцисса которой равна π/12.
2546. 1) Дано: φ (x) = cos2 x Найти φ' (π/6); φ" (π/3)'
2) Одна точка движется по закону s1 = t3 — t2 + 3t — 1,
другая— по закону s2 = 1/3 t3 + 1/2 t2 + 5t — 10, где t — время в секундах, a s1 и s2 — пути в метрах. Определить ускорение движущихся точек в момент, когда скорости их равны.
3) Написать уравнение касательной к кривой у = 2х3 + х — 1 в точке пересечения ее с осью ординат.
2547. 1) Из круглого бревна, диаметр которого равен 30 см, требуется вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы площадь сечения была наибольшей. Каковы должны быть измерения этого сечения?
2) Исследовать функцию у = 1/3 x3 — 3х и построить ее график.
2548. 1) Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6 м. Каковы должны быть размеры прямоугольника для того, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?
2) Исследовать функцию у = х4 — 2х2 — 8 и построить ее график.
ОТВЕТЫ
