11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
12. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 45.РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА
2549. Назовите несколько элементов следующих множеств:
1) множества натуральных чисел;
2) множества положительных чисел;
3) множества отрицательных чисел;
4) множества рациональных чисел;
5) множества корней биквадратного уравнения х4 — 5x2 + 4 = 0;
6) множества решений неравенства 3х — 5 < 0.
Какие из указанных множеств являются конечными, какие бесконечными?
2550. Назовите несколько общих элементов:
1) множества всех отрицательных и множества всех рациональных чисел;
2) множества всех рациональных чисел и множества всех действительных чисел.
2551. 1) Какие арифметические действия выполнимы во множестве натуральных чисел?
2) Всегда ли во множестве натуральных чисел разрешимо уравнение х+ а = b, где а и b — натуральные числа? Какие числа необходимо добавить к множеству натуральных чисел, чтобы это уравнение было разрешимо всегда?
2552. Какими числами надо пополнить множество целых чисел, чтобы уравнение
ах + b = 0 было разрешимо для любых целых значений а и b?
2553. Какие числа необходимо добавить к множеству рациональных чисел, чтобы всякой точке числовой оси соответствовало определенное число?
2554. В каком смысле говорят, что между множеством всех точек числовой оси и множеством всех действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие?
2555. Почему соответствие между множеством всех рациональных чисел и всех точек числовой оси нельзя назвать взаимно однозначным?
2556. Какие из шести действий: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на нуль), возвышение в степень и извлечение корня — выполнимы в множестве всех положительных чисел; в множестве всех рациональных чисел; в множестве всех действительных чисел?
2557. Если а и b — натуральные числа, то в множестве каких чисел разрешимо каждое из следующих уравнений:
1) х — а = b; 2) х : а = b;
3) х + а = b; 4) ах = b?
2558. Пользуясь схемой, дать классификацию чисел:
2559. Если а и b — любые действительные числа, причем а =/= 0, то всегда ли разрешимо в множестве действительных чисел уравнение ах2 = b?
2560. Пользуясь методом полной математической индукции, доказать справедливость следующих равенств:
Пользуясь методом полной математической индукции, решить следующие задачи.
2561*. 1) Вычислить сумму 
2) Составить формулу, выражающую нечетное число ип через его номер п.
3) Вычислить сумму первых п.нечетных чисел.
4) Доказать, что 1 + 2 + 22 + ... + 2n—1 = 2n — 1, где п —любое натуральное число.
5) Доказать, что для любого натурального т справедливо тождество
(т + 1) (т + 2) (т + 3) ... (т + п) = 2т • 1 • 3 • 5 • 7 ... (2n — 1).
6) Доказать, что п прямых, расположенных в одной плоскости, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, рассекают плоскость на
частей.
2562*. Доказать, что:
2563*. Доказать:
2564*. 1) Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
2) Показать, что 11n+2 + 122n+1 при п > 0 делится на 133.
3) Доказать, что при любом натуральном п выражение п7 — п делится на 7.
4) Доказать, что п3 + 5п делится на 6, где п — любое натуральное число.
5) Доказать, что выражение п3 + 11п делится на 6 при любом натуральном п.
2565. Доказать справедливость следующих формул:
1) ап = a1 + d (п — 1), где ап — n-й член арифметической про грессии, a1- ее первый член, d — разность;
2) ап = a1qn—1, где ап — n-й член геометрической прогрессии, a1— ее первый член, q — знаменатель прогрессии;
3) (a1+a2+a3+...+ ап)2 = a12+a22+a32+...+ ап2+ 2(a1a2+a1a3+...+a1an+a2a3+...+ап—1ап).
ОТВЕТЫ
