11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ 12. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 46. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 2566. Решить квадратное уравнение х2 — 10х + N = 0, полагая: 1) N =16; 2) N =18 3/4; 3) N = — 24; 4) N = 12; 5) N = 41. 2567. Показать, что следующие квадратные уравнения не имеют корней в множестве вещественных чисел: 1) х2 + 1 = 0; 2) х2 + 2х + 5= 0; 2568. Даны следующие числа: 35; 17 1/5; 3√— 27 ; tg 45°; π; 0,(6); — 20; lg 20; 3√— 8; √12; sin 180°; 0; lg 10; Назвать среди них числа: 1) натуральные; 2) положительные; 3) отрицательные; 4) рациональные; 5) иррациональные; 6) действительные; 7) мнимые; 8) чисто мнимые; 9) комплексные. 2569. 1) Назвать действительную часть следующих комплексных чисел: 3 + 2i; — 5 + i; 4i; √2 — i √2; 8; — 1/2 + 3/2 i; — 25 1/2; √2 + √3 . 2) Назвать коэффициент при мнимой части следующих комплексных чисел: 4 — 2i; 12; 8i; √3 — i √5; 7,3; — i √3; — √2 + i; cos 30° + i sin 30°. 2570. Даны числа: 2 + i; 1 — 2i; — 5 + 3i; — 1 — 5i; 3; i . Назвать числа: 1) сопряженные данным; 2) противоположные данным. 2571. Пользуясь условием равенства комплексных чисел, определить х и у из уравнений (х и у — вещественные числа): 1) 3х — у + (х + y) i = 7 + 5i; 2572. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы комплексное число а + bi было равно своему сопряженному числу. Привести примеры. 2573. Укажите на координатной плоскости точки, изображающие числа: 0; 1; — 1; 3; —5; i; — i; 2i; — 4i. 2574. В какой четверти координатной плоскости расположены точки, изображающие числа: 3 + 5i; — 4 + i; 2,5 — 6i; —1 — i. 2575. Написать числа, соответствующие точкам А, В, С, D, E, F, G, Н, К, L, расположенным на координатной плоскости (рис. 75). 2576. На координатной плоскости дан круг с центром в начале координат и радиусом, равным 2 (рис. 76). Какие числа соответствуют точкам А, В, С, D, E, F, лежащим в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в этот круг? 2577. Дано число — 3 + 4i. Как располагается на координатной плоскости точка, изображающая число: Построить эти точки. 2578. Дана точка, изображающая число 5 — 2i. Какие числа будут изображать точки, симметричные данной: 1) относительно действительной оси; 2) мнимой оси; 3) относительно начала координат? 2579. Где на координатной плоскости располагаются точки, изображающие все комплексные числа, у которых: 2580. Найти длину отрезка, соединяющего точки, изображающие числа 2581. Построить вектор, изображающий комплексное число: 1)1; 2) i; 3) —5i; 4) 6; 2582. Вектор OM>, равный 2, подвергнут двум операциям: операции растяжения в 1/2 раза и операции поворота на угол 3π/2 . Построить полученный вектор и написать соответствующее ему число. 2583. Для каждого числа, данного в таблице 14, построить соответствующий вектор, выполнить указанные операции растяжения и поворота, построить полученный вектор и написать соответствующее ему число (заполнить таблицу). 2584. Что называется модулем комплексного числа а + bi и каким символом он обозначается? Каков геометрический смысл модуля комплексного числа? 2585. Найти модуль комплексного числа: 1) 4 — 3i; 2) — 1 + i; 2586. Что можно сказать о модулях двух сопряженных комплексных чисел; о модулях двух противоположных комплексных чисел? 2587. Дано число 5 + 2i. Написать комплексное число х + yi такое, чтобы 2588. Найти геометрическое место точек координатной плоскости: 2589. Найти геометрическое место точек координатной плоскости, удовлетворяющих условию: 2 < | z |< 3. 2590. Какое множество точек плоскости соответствует комплексным числам, удовлетворяющим неравенству | х + yi | > 1? 2591. Решить уравнение | z | — z = 1 + 2z, где z = х + yi. 2592. Найти: 1) arg (— 4); 2)arg(5i); 3) arg (— 1, 5i); 2593. Следующие комплексные числа изобразить векторами и определить модуль и аргумент каждого числа: 1) 6; 2) — 4i; 3) 1 — i; 2594. 1) Чему равен аргумент: а) чисто мнимого числа; б) любого отрицательного числа; в) любого положительного числа? 2) Аргумент комплексного числа а + bi равен φ . Чему равен аргумент числа а — bi? 2595. Какое число не имеет определенного аргумента? ОТВЕТЫ |