11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

12. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§  46. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
И  ИХ  ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ  ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

2566. Решить квадратное уравнение х2 — 10х + N = 0, полагая:

1) N =16;    2) N =18 3/4;    3) N = — 24;    4) N = 12;   5) N  = 41.

2567. Показать, что следующие квадратные уравнения не имеют корней в множестве вещественных чисел:

1) х2 + 1 = 0;                              2) х2 + 2х + 5= 0;
3) х2 — 6х + 18 = 0;                   4) 4х2 — 4х + 13 = 0.

2568.  Даны следующие  числа:

35;  17 1/5;    3— 27 ;  tg 45°;  π;  0,(6); — 20; lg 20;  3— 8;   √12;   sin 180°;   0;  lg 10;  
—3,225;   3 + 2i; i2;  —6i; 4 — i3.

Назвать среди них числа: 1) натуральные; 2) положительные; 3) отрицательные; 4) рациональные; 5) иррациональные; 6) действительные; 7) мнимые; 8) чисто мнимые;  9)  комплексные.

2569. 1) Назвать действительную часть следующих комплексных чисел:

3 + 2i;   — 5 + i;   4i;   √2i √2;   8;  — 1/2 + 3/2 i;   — 25 1/2;  √2 + √3 .

2)   Назвать коэффициент при мнимой части следующих комплексных чисел:

4 — 2i;   12; 8i;   √3 i 5;  7,3;   — i 3; — √2 + i;   cos 30° + i sin 30°.

2570. Даны числа: 2 + i;   1 — 2i;  — 5 + 3i;  — 1 — 5i;  3;  i .

Назвать числа: 1) сопряженные данным; 2) противоположные данным.

2571.  Пользуясь условием равенства комплексных чисел, определить х и у из уравнений (х и у — вещественные числа):

1)  3ху + (х + y) i = 7 + 5i;
2)    1/x + 2 = 2;
3)    х2 — 3 (х — i) = — 2.

2572. Найти условие,  необходимое и достаточное для того, чтобы комплексное  число   а + bi   было   равно своему сопряженному числу. Привести примеры.

2573. Укажите на координатной  плоскости точки, изображающие числа:   

0;   1; — 1;   3;   —5;  i;  — i;   2i;   — 4i.

2574. В   какой   четверти    координатной плоскости расположены точки,   изображающие числа:  3 + 5i;   — 4 + i;   2,5 — 6i;   —1 — i.

2575. Написать числа, соответствующие точкам А, В, С, D, E, F, G, Н, К, L, расположенным на координатной плоскости (рис. 75).

2576. На координатной плоскости дан круг с центром  в начале  координат и радиусом, равным 2 (рис. 76). Какие числа соответствуют точкам А, В, С, D, E, F, лежащим в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в этот круг?

2577. Дано число  — 3 + 4i.   Как располагается  на  координатной  плоскости точка, изображающая число:
1) сопряженное данному числу;
2) противоположное данному числу;
3) противоположное числу, сопряженному данному?

Построить эти точки.

2578. Дана точка, изображающая число 5 — 2i.  Какие числа будут изображать точки, симметричные данной:  1) относительно действительной оси; 2) мнимой оси; 3) относительно начала координат?

2579. Где на координатной плоскости располагаются точки, изображающие все комплексные числа, у которых:
1) действительная часть равна 7;
2) коэффициенты мнимой части равны — 5?

2580. Найти  длину отрезка, соединяющего точки, изображающие числа
— 7 + 3i    и    — 4 — i.

2581. Построить вектор, изображающий комплексное число:

1)1;                           2) i;                       3) —5i;                4) 6;
5) 1 + 2i;                  6) — 2 + 3i;          7) — 3 — 4,5i;    8) 5,5 — 3,5i;          
9) — √2  • i;          10) √2  — i3  .

2582. Вектор OM>, равный 2, подвергнут двум операциям: операции растяжения в 1/2  раза и операции поворота на угол /2  . Построить полученный  вектор и написать соответствующее ему число.

2583.  Для каждого числа, данного в таблице 14, построить соответствующий  вектор,  выполнить  указанные операции  растяжения и поворота, построить полученный вектор и написать соответствующее ему число (заполнить таблицу).

2584. Что называется модулем комплексного числа а + bi и каким символом он обозначается? Каков геометрический смысл модуля комплексного числа?

2585.  Найти модуль комплексного числа:

1) 4 — 3i;                             2) — 1 + i;
3)  —√5 — 2i;                     4) —5;
5) i;                                      6) — 3i;
7) 1 + cos π/3 + i sin π/3;       8)   sin 2x + i cos 2x.

2586. Что можно сказать о модулях двух сопряженных комплексных чисел; о модулях двух противоположных комплексных чисел?

2587. Дано число 5 + 2i. Написать комплексное число х + yi такое, чтобы  
 | х + yi | > | 5 + 2i |.

2588. Найти геометрическое место точек координатной плоскости:
1) модуль которых равен 7;
2) аргумент которых равен π/6.

2589. Найти геометрическое место точек   координатной плоскости, удовлетворяющих   условию:   2 < | z |< 3.

2590. Какое множество точек плоскости соответствует комплексным числам,   удовлетворяющим  неравенству  | х + yi | > 1?

2591. Решить уравнение

| z | — z = 1 + 2z,   где   z = х + yi.

2592. Найти:

1) arg (— 4);            2)arg(5i);                       3) arg (— 1, 5i);
4) arg (1 + i);           5) arg (— 2 — 2i);        6) arg (— 1 + i3).

2593. Следующие комплексные числа изобразить векторами и определить модуль и аргумент каждого числа:

1) 6;                       2) —  4i;             3) 1 —  i;
4) — 1 —  i;          5) 1 + i3;          6) —  5 + 5i.

2594. 1) Чему равен аргумент: а) чисто мнимого числа; б) любого отрицательного числа; в) любого положительного числа?

2)  Аргумент комплексного числа а + bi равен φ . Чему равен аргумент числа   а — bi?

2595. Какое число не имеет определенного аргумента?

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz