11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
12. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 47. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел
2607. Показать на чертеже, что:
1) умножению числа 1,5 на 4 соответствует растяжение вектора, изображающего множимое 1,5, в 4 раза без изменения его направления;
2) умножению числа 3 на —0,5 соответствует сжатие вдвое вектора, изображающего множимое 3 и поворот его на угол 180°.
2608. Показать на чертеже, что:
1) умножению числа 2,5 на 2i соответствует растяжение вектора, изображающего множимое 2,5, в два раза и поворот его на угол 90°;
2) умножению числа 5 на — 0,2i соответствует сжатие вектора, изображающего множимое 5 в пять раз и поворот его на — 90°.
Построить произведение следующих чисел:
2609. 1) 2i • i; 2) ( — 3i) • 2i;
3) (— 4i) • ( — 0,2i); 4) 5i • (— 0,3i).
2610. 1) (2 + 4i) • 0,5; 2) (2 + 3i) • (— 2);
3) (1 + 2i) • 3i; 4) (1 —2i) • (— 4i).
2611. Вычислить следующие произведения и показать, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:
Выполнить умножение:
2617. Дано комплексное число 5 — 3i. Напишите другое комплексное число, такое, чтобы произведение его на данное число было действительным числом. Сколько таких чисел можно подобрать?
2618. Чему равняется среднее пропорциональное двух сопряженных комплексных чисел: а + bi и а — bi?
2619. Число, сопряженное с z, обозначается через z. Доказать, что z • z = | z |2.
2620. Проверить, что:
2621. Упростить выражение
(х + 1 + i ) • ( х — 1 + i ) • (х — 1 — i) • (х + 1 — i)
Разложить на множители:
2622. 1) а2 + b2; 2) а2 + 1; 3) 4а2 + 9; 4) а2 + 8.
2623. 1) т + 4; 2) т + п; 3) m2n + 1; 4) 8 + mn2.
2624. 1) √7 + 9; 2) √3 + √5.
2625. Сократить следующие дроби:
2626. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, корнями которого были бы числа:
1) i и — i; 2) 0,5i и — 0,5i;
3) 2 + i и 2 — i; 4) 1 — i √3 и 1 + i √3.
Выполнить деление:
2627. 1) 6i : 3; 2) — i : 0,2;
3) 0,5i : (— 100); 4) (— 4,2i) : (— 2,4i)
2633. Найти частное от деления двух сопряженных комплексных чисел и определить модуль полученного частного.
2634. Найти модуль и аргумент следующих чисел:
2647. Доказать, что при возведении двух сопряженных комплексных чисел в куб снова получаются сопряженные комплексные числа.
2648. Найти х из уравнения:
1) х2 + 2ix + 3 = 0; 2) х2 — 4ix + 12 = 0.
2649. Разложить на множители трехчлен:
1) х2 — 7iх — 12; 2) х2 — 5iх — 6.
2650. Вычислить значение, которое принимает многочлен
х3 — х2 + 12х — 7 при х = 2 — i √3
2651. Определить численное значение многочлена:
1) х4— 6х3 + 15х2 — 18х +10 при х = 1 + √— 1 ;
2) х4 - 2х3 + 3х2 — 2х + 2 при х = 1 — √— 1 .
2652. Вычислить наиболее рациональным способом значение, которое принимает выражение (т + ni)2 — (т — ni)2 при т = 2i и п = 1 — i
2653. 1) Вычислить у = х3 — 2х2 — х + 4 для х = 1 ± 2i.
2) Проверить, что трехчлен у = х2 — 3х + 7 для двух сопряженных комплексных значений ч дает два сопряженных значения.
Вычислить:
ОТВЕТЫ
