11 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
12. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
2689. Написать два комплексных числа, обладающих тем свойством, что их сумма и произведение — действительные числа.
2690. Доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел, есть опять сумма квадратов двух целых чисел.
2691. Найти наименьшее целое положительное число п, для которого
2692. Выполнить указанные действия:
2697. Составить биквадратное уравнение с рациональными коэффициентами по двум его корням: √2 и 3i.
2698. Проверить, что:
1) x1 = 3 + 4i и x2 = 3 — 4i есть корни уравнения х2 — 6х + 25 = 0;
2) x1 = 3 — i/2 и x2 = 3 + i/2 есть корни уравнения 4х2 — 24х + 37 = 0,2699
Решить следующие уравнения:
1) х2 — 2xi —5 = 0; 2) 3х2 + (i — 5) х + 4 = 0;
3) 2х2 — (5 — i)x + 3 + i = 0; 4) (1— i) 2 + (2 — i)x + 2 + i = 0.
2700. Найти х и у из уравнения:
Выполнить следующие действия:
1) z1 • z2 2) z2 • z3; 3) z3 : z4; 4) z2 : z3.
2702. Найти модуль комплексного числа (1 + i)5.
2703. Определить седьмой член разложения (i3 + i√2)т, если сумма биномиальных коэффициентов третьего и предпоследнего членов разложения равна 66.
2704. Найти сумму тех членов разложения (х + i)7, которые не содержат i.
2705. Изобразить в координатной плоскости вектором скорость движения точки, если числовое значение скорости v = 1 м/сек и направлена она по лучу, составляющему с положительным направлением оси х угол φ = 2/3 π. Каким комплексным числом определяется вектор скорости?
2706. Скорость самолета относительно неподвижного воздуха определяется комплексным числом 100 (cos π/3 + i sin π/3 ), а скорость ветра — 10 (cos 2π/3 + i sin 2π/3 ). Найти графически и алгебраически скорость движения самолета во время ветра.
2707. Доказать, что если три точки плоскости, которым соответствуют комплексные числа z1, z2, z3, лежат на одной прямой, то отношение 
есть действительное число.
ОТВЕТЫ
