1. Задачи и упражнения для повторения курса V—VIII классов

§ 2. АЛГЕБРА

Функции и графики

134. Дана функция у = ах + b.
1) Почему эта функция называется линейной?
2) Какой геометрический смысл имеют коэффициенты а и b?
3) Какое положение относительно координатных осей занимает график данной функции, если:
a) b = 0, а =/= 0 (рассмотреть случаи, когда a > 0 и а < 0);
б) а = 0, b — произвольное действительное число.

135. Построить графики функций:
l)  y = x + 2;
2) у = 5 — 0,5х;
3) у = | х |;
4) у = | 3 — х |.

136. Написать уравнение прямой,
1) пересекающей оси координат в точках (—5; 0) и (0; —2);
2) проходящей через точку А (2; —1) и параллельной прямой у = 1 — 2х.

137. Вычислить площадь треугольника, ограниченного графиками функций у = | х | и
у = 1,5 — 0,5x.

138. Дана функция у = х².
1) Указать, какие значения может принимать аргумент х и какие значения принимает при этом функция у.
2) Выяснить, имеет ли данная функция наибольшее или наименьшее значение и при каком значении х оно достигается.
3) Доказать, что функция у = х²
 а) убывает в интервале (— ∞ ; 0);
б) возрастает в интервале (0; + ∞ ).
4) Убедиться в том, что при замене произвольного значения аргумента x противоположным ему значением — х значение функции не изменяется (свойство четности). Как это свойство функции влияет на ход ее графика?
5) Исходя из установленных свойств функции, построить схематически ее график. Уточнить график функции, вычисляя значения функции при некоторых значениях аргумента.

139. Дана функция у = — х². Не вычерчивая графика функции,
1) описать вид и положение кривой (графика функции) относительно координатных осей;
2) найти значение х, при котором функция имеет наибольшее или наименьшее значения;
3) указать промежутки возрастания и убывания функции.

140. 1) Написать уравнение каждой из парабол, полученных путем следующих изменений данной параболы:
а) парабола у = х² сдвинута на 3 единицы масштаба вправо и на 4 единицы масштаба вниз;
6) парабола у = х² сдвинута на 1 единицу влево и на 2 единицы-вниз и подвергнута растяжению по оси ОУ в 2 раза;
в) парабола у = — х² сдвинута на 2 — единицы вправо и на 4 — единицы вверх и подвергнута сжатию по оси ОУ в 3 раза.

2) Для каждого из приведенных случаев:
а) найти те значения х, при которых функция у обращается в 0;
б) определить наименьшее или наибольшее значение функции;
в) построить график функции.

141. Исследовать следующие функции и построить их графики;
1) у = х² +1;
2) у = х² — 2;
3) у = (х — 2)²;
4) у = (х + 3)²;
5) у = (х — 2)² —1;
6) у = 2х²;
7) у = 0,5х²;
8) у = 1 — х²;
9) у = 5 — (x — 4)²;
10) у = 5х — 0,5х²;
11) у = х² + 2х — 3;
12) у = 1,5 + х —0,5х².

142. Решить графически уравнения:

1) х² = х + 2; 2) х² + х = 2; 3) х² + | х | = 2; 4) 3 — х² = | х — 1 | — х.

143. Дана функция  у = х³.
1) Указать, какие значения может принимать аргумент х и какие значения принимает при этом функция у.
2) Определить, при каких значениях х данная функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значение, равное нулю. Имеет ли функция наибольшее или наименьшее значение?
3) Доказать, что функция у = х³ возрастает при всех значениях аргумента х.
4) Убедиться, что при замене произвольного значения аргумента х противоположным ему значением — х значение функции у также заменяется ему противоположным значением — у (свойство нечетности).  Как это свойство функции влияет на ход ее графика?
5) Исходя из установленных свойств функции у = х³, построить ее график.

144. На одном и том же чертеже построить графики функций:

у = х,  у = х²  и  у = х³.

Пользуясь чертежом, определить, при каких значениях х имеют место соотношения:

1) х³ = х; 2) х³ > х; 3) х³ < х; 4) х³ > х²; 5) х³ < х².

145. Построить график функции у = — х³. Чем отличается график этой функции от графика функции у = х³?

ОТВЕТЫ