13 ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ КУРСА
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ»
2712. 1) Какой цифрой оканчивается разность
1 • 2 • 3 • 4 ....• 98 • 99 — 1 • 3 • 5 • 7 ..... 97 • 99?
2) Доказать, что число N5 оканчивается на ту же цифру, что и число N.
2713. Измерили комнату трехметровой рулеткой, которая от употребления растянулась и стала длиннее на 3 см. Длина комнаты получилась равной 5 м. Какова действительная длина комнаты?
2714. Шофер грузовой машины, посмотрев на счетчик, заметил, что количество пройденных километров читалось одинаково как слева направо, так и справа налево: 15951. Через 2 ч на счетчике появилось другое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково. С какой скоростью ехал шофер эти два часа?
2715. Двое путников идут один за другим вдоль железнодорожного полотна. Поезд нагоняет человека, идущего сзади, и проходит мимо него за 10 сек. Двадцать минут спустя поезд догоняет второго путника и проходит мимо него за 9 сек. Через сколько времени после того, как поезд перегнал второго путника, первый пешеход догонит второго? (Все скорости считать постоянными.)
2716. Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 40 км/ч, и видит, что мимо окна в противоположном направлении в течение 3 сек проходит встречный поезд, имеющий длину 75 м. Какова скорость встречного поезда?
2717. Ученик купил 4 книги. Все книги без первой стоят 42 коп., без второй 40 коп., без третьей 38 коп., без четвертой 36 коп. Сколько стоят все книги?
2718. На участке трамвайного пути длиной 1 км пешеход, проходящий его за 12 мин, ежедневно подсчитывал число трамваев, обгонявших его и идущих навстречу. В течение месяца первых оказалось 45, а вторых 120. Определить скорость трамваев.
2719. Для углубления фарватера при входе в гавань работали три разные землечерпалки. Если бы действовала только первая из них, то на работу потребовалось бы на 10 дней больше; если бы работала только вторая, то работа затянулась бы на 20 лишних дней. Работа одной лишь третьей землечерпалки продолжалась бы в 6 раз больше, чем при одновременном действии всех трех машин. Сколько времени потребуется для выполнения всей работы каждой землечерпалкой в отдельности?
2720. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу — первый из А, второй из В — и встретились через 3 ч. За сколько времени прошел расстояние АВ каждый из них, если первый пришел в В на 2 1/2 ч позже, чем второй пришел в А?
2721. Три парохода совершают рейс между пристанями А и В. Первый пароход проходит в час на 3 км больше, чем второй, и весь рейс совершает на 2 ч быстрее второго. Второй пароход проходит в час на 3 км больше, чем третий, и весь рейс совершает на 3 ч быстрее третьего. Определить скорость третьего парохода и расстояние между А и В.
2722. Две машинистки должны перепечатать рукопись, состоящую из трех глав, из которых первая вдвое короче второй и втрое длиннее третьей. Работая вместе, машинистки перепечатали первую главу за 3 ч 36 мин. Вторая глава была перепечатана за 8 ч, из которых 2 ч работала только первая машинистка, а остальное время они работали вместе. Какое время потребуется второй машинистке, для того чтобы одной перепечатать третью главу?
2723. Для того чтобы из пункта А попасть в пункт В, нужно часть пути от пункта А до пункта С проехать на поезде, а остальные 15 км от С до В — на автобусе. Вся эта поездка от А до В займет 1 ч 15 мин, причем автобус отправляется сразу же после прихода поезда, а временем, которое поезд и автобус тратят на остановки, можно пренебречь. По ошибке пассажир сошел с поезда на остановку раньше, прошел оставшийся путь до С длиной 5 км пешком со скоростью 4 км/ч, а затем еще 20 мин ждал автобуса и в результате попал в пункт В на 1 ч 30 мин позже намеченного срока. Найти расстояние от А до С, если известно, что скорость поезда вдвое больше, чем скорость автобуса.
2724. Из города А в город В через равные промежутки времени и с равной скоростью выезжает один за другим 21 автобус, каждый из которых проходит путь АВ за 2 ч 40 мин. При этом первый автобус прибывает в город В в тот момент, когда из города А выезжает 21-й автобус. Прибыв в город В, каждый автобус мгновенно поворачивает и двигается обратно к городу А. Из города А одновременно с 21-м автобусом в город В выезжает легковая машина, которая через t мин обгоняет 20-й автобус. Найти t и время, за которое, легковая машина преодолевает расстояние АВ, если, встретив первый автобус, легковая машина после этого встречает второй автобус через (t — 9) мин.
2725. Плоты шли из пункта А до устья реки вниз по течению. У устья реки их взял на буксир пароход и через 11,5 суток после выхода плотов из пункта А доставил их по озеру в пункт В. Сколько времени пароход вел плоты от устья реки по озеру до В, если известно, что пароход тратит на рейс (без буксировки) от А до В 40 ч и от В до А 48 ч, а скорость во время буксировки уменьшается вдвое?
2726. Три положительных числа составляют геометрическую прогрессию. Если ко второму числу прибавить 4, эти числа составят арифметическую прогрессию. Если после этого к третьему числу прибавить 32, полученные числа вновь составят геометрическую прогрессию. Найти эти три числа.
2727. Логарифмы четырех чисел при основании 2 образуют арифметическую прогрессию, у которой произведение крайних членов равно —8, а произведение средних равно 0. Найти эти числа.
2728. Найти все двузначные числа, каждое из которых на 9 больше суммы квадратов его цифр.
2729. 1) Решить уравнение в целых числах:
ху — 10 (х + у) = 1.
2) Ста абитуриентам раздали 480 листов бумаги, причем каждой девушке дали на два листа больше, чем юноше. Сколько было на приемных экзаменах юношей и девушек?
2730. Доказать, что при любом п число 52п — 1 делится на 6.
2731. Доказать, что при любом целом значении х числовая величина выражения
х4 + 2х3 — 2х кратна 24.
2732. На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остается одна лишняя книга, а если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Сколько книг могло быть на столе?
ОТВЕТЫ
