2 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Изучение темы начать с решения задач на повторение из главы 1

§ 4. НЕРАВЕНСТВА

Числовые неравенства и их свойства

175. Поставить знак неравенства между числами а и b, если известно, что:
1) (а — b) — положительное число;
2) (а — b) — отрицательное число;
3) (а — b) — число неотрицательное.

176. Где на числовой оси лежит точка, изображающая число х, если:
1) х > 0; 2) х < 0; 3) 1 < х; 4) х > —3,2?

177. Записать при помощи знаков неравенства, что:
1) х — положительное число;
2) у —отрицательное число;
3) | а | — число неотрицательное;
4) среднее арифметическое двух положительных чисел а и b не меньше их среднего геометрического;
5) абсолютная величина суммы двух рациональных чисел а и b не больше суммы абсолютных величин слагаемых.

178. Что можно сказать о знаках чисел а и b , если:

1) а • b > 0; 2)  a/b > 0; 3) а • b < 0; 4)  a/b  < 0?

179. 1) Расположить следующие числа в порядке возрастания, соединив их знаком неравенства: 0; —5; 2. Как прочитать эту запись?

2) Расположить следующие числа в порядке убывания, соединив их знаком неравенства: —10; 0,1;— 2/3 . Как прочитать эту запись?

180. Выписать в порядке возрастания все трехзначные числа, каждое из которых содержит цифры 2; 0; 5, и соединить их знаком неравенства.

181.1) При однократном измерении некоторой длины l нашли, что она больше 217 см, но меньше 218 см.. Записать результат измерения, взяв эти числа в качестве границ значения длины l.

2) При взвешивании предмета оказалось, что он тяжелее 19,5 Г, но легче 20,0 Г. Записать результат взвешивания с указанием границ.

182. При взвешивании некоторого предмета с точностью до 0,05 кГ получили вес
Р ≈  26,4 кГ. Указать границы веса этого предмета.

183. Где на числовой оси лежит точка, изображающая число х, если:
1) 3 < х < 10; 2) — 2 < х < 7; 3) — 1 > х > — 6?

184. Найти и указать на числовой оси целые значения х, удовлетворяющие неравенствам.

1) 0,2 < х <4;
2)—3 < х <2;
3) 1/2 < х < 5;
4) —1< х <;3.

185. Какое число, кратное 9, заключено между числами 141 и 152? Дать иллюстрацию на числовой оси.

186. Определить, какое из двух чисел больше, если известно, что каждое из них больше 103 и меньше 115, причем первое число кратно 13, а второе кратно 3. Привести геометрическую иллюстрацию.

187. Между какими ближайшими целыми числами заключаются правильные дроби? Можно ли указать два целых числа, между которыми заключены все неправильные дроби?

188. Куплено 6 книг по математике, физике и истории. Сколько книг куплено по каждому предмету, если по математике книг куплено больше, чем по истории, а по физике меньше, чем по истории?

189. На уроке алгебры были проверены знания трех учеников. Какую оценку получил каждый ученик, если известно, что первый получил балл больше второго, а второй больше, чем третий, и число баллов, полученных каждым учеником, больше двух?

190. В шахматном турнире лучших результатов добились шахматисты А, В, С и D. Можно ли узнать, какое место занял каждый из участников турнира, если известно, что А набрал больше очков, чем D, а В меньше, чем С?

191. Дано неравенство а > b. Всегда ли a • с > b • с? Привести примеры.

192. Дано неравенство а < b. Верно ли неравенство — а > — b?

193. Можно ли, не изменяя знака неравенства, умножить обе части его на выражение х2 + 1, где х — любое рациональное число?

194. Умножить обе части неравенства на указанный в скобках множитель.

1)—3 < 1 (5);    2) 2 < 5 (—1);        3) х > 2  (х);
4) а < — 1 (а);  5) b < — 3 (—b);   6) х —2 > 1 (х).

195. Привести к целому виду неравенства:

196. Дана функция у = kx, где k =/= 0. Как изменяются значения функции у с возрастанием аргумента х, если: 1) k > 0; 2) k  < 0? Обосновать ответы.

197. Дана функция у = kx + b, где k =/= 0, b =/= 0. Как изменяются значения функции у с убыванием значений аргумента х, если: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Доказать, что если а > b и с > 0, то a/c  > b/c; если а > b и с < 0, то a/c < b/c .

199. Разделить обе части неравенства на указанные в скобках числа:

1) — 6 < 3 ( 1/3);  2) 4 > —1,5 (—1);  3) а < — 2а2 (а);
4) аа2 (а);        5) а3 > а2 (—а).

200. Сложить почленно неравенства:

1) 12 > 11 и 1 > —3;
2) —5 < 2 и 4 < 8,2;
3) а — 2 < 8 + b и 5 — 2а < 2 — b;
4) х2 + 1 > 2х и х — 3 < 9 — х2.

201. Доказать, что каждая диагональ выпуклого четырехугольника меньше его полупер иметра.

202. Доказать, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше суммы его диагоналей.

203. Вычесть почленно второе неравенство из первого:

1)5 > 2; —3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > —2;
3) 7 < 11; —4 < —3;
4) 2а — 1 > 3b; 2b > 3.

204. Доказать, что если | х | < а, то — а < х < а.

205. Следующие неравенства записать в виде двойных неравенств:
1) | т |< 1; 2) | х — 2 | < 2.

206. Указать на числовой оси множество всех значений х, удовлетворяющих неравенствам: 1) | х |< 2; 2) | х | < 1; 3) | х | > 3; 4) | х — 1 | < 1.

207. Доказать, что если — а < х < а, то | х | < а.

208. Заменить сокращенной записью двойные неравенства:
1) —2 < а < 2; 2) —1 < 2п < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Приближенное значение длины l = 24,08(±0,01) мм. Установить границы длины l.

210. Пятикратное измерение одного и того же расстояния при помощи метровой линейки дало следующие результаты: 21,56; 21,60; 21,59; 21,55; 21,61 (м). Найти среднее арифметическое результатов измерения с указанием границ абсолютной и относительной погрешностей.

211. При взвешивании груза получено Р = 16,7(±0,4%)кГ. Найти границы веса Р.

212.  а ≈ 16,4, относительная погрешность ε = 0,5%. Найти абсолютную погрешность
Δ a и установить границы, между которыми находится приближенное число.

213. Определить границу относительной погрешности приближенного значения каждого из следующих чисел, если приближенное значение взять с указанным количеством верных цифр: 1) 11/6 с тремя верными цифрами; 2) √5 с четырьмя верными цифрами.

214. При измерении по карте расстояния между двумя городами нашли, что оно больше 24,4 см, но меньше 24,8 см. Найти действительное расстояние между городами и абсолютную погрешность вычисления, если масштаб карты 1 : 2 500 000.

215. Произвести вычисления и определить абсолютную и относительную погрешности результата: х = а + b — с, если а = 7,22 (±0,01); 3,14 < b < 3,17; с = 5,4(±0,05).

216. Перемножить почленно неравенства:

1) 7 > 5 и 3 >2;  2) 3 < 5 и 2/3<2;

3) — 6 < — 2 и — 3 < — 1;  4) а > 2 и b < —2.

217. Дано неравенство а > b. Всегда ли а2 > b2 ? Привести примеры.

218. Если а > b > 0 и п — натуральное число, то ап > b. Доказать.

219. Что больше: (0,3)20 или (0,1)10?

220. Если а > b > 0 или b < а < 0, то 1/a < 1/b. Доказать.

221. Вычислить площадь земельного участка прямоугольной формы длиной 437 м и шириной 162 м, если при измерении длины участка возможна погрешность ±2 м, а при измерении ширины — погрешность ±1 м.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz