3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 10. НЕРАВЕНСТВА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

Исследование квадратного трехчлена

530. Найти значения аргумента х, для которых квадратный трехчлен
х² — 6х — 3 равен: 1) —3;   2) 4;   3) —5;   4) —16;   5) 0.

531. В каком случае трехчлен ax²  + bx + c, где а, b и с — действительные числа, заведомо не может обратиться в нуль? Как в этом случае располагается относительно координатных осей график трехчлена?

532. Найти корни следующих трехчленов:

1) х²  — х — 462;         2) 3х² — 22х + 7;
3) 10х² + 29х + 10;       4) 5х² — 6х + 5.

533. Как на координатной плоскости располагается график трехчлена ax²  + bx + c (парабола), имеющего действительные корни, если: 1) а > 0;   2) а < 0?
Имеет ли график общие точки с осью ОХ, и если имеет, то сколько?

534. 1) Известно, что корни x₁и x₂ трехчлена x²  + px + q  удовлетворяют соотношениям: x₁ + x₂ = — р    и   x₁ • x₂ = q.
Пользуясь этими свойствами, доказать, что x²  + px + q = (х — x₁) (х— x₂).

2) Доказать тождество ax²  + bx + c = а (х — x₁) (х— x₂), где  x₁и x₂  — корни трехчлена   ax²  + bx + c.

535. Разложить на множители:

1) x² + 2х — 15;                2) 2x² + 3х — 6,48;
3) x² + ах — 6а²;              4) 6x² + 5ах — 6а²;
5) a²b² + ab — 12;            6) (x² + x)² + 4 (x² + x) —12

536. Вывести условие, при котором квадратный трехчлен
1) x²  + px + q;    2) ax²  + bx + c
является квадратом двучлена. Как в этом случае расположен относительно координатных осей график трехчлена?

537. При каких значениях k каждый из следующих трехчленов является квадратом двучлена:

1) 3x² — kx + 12;
2) x² + kx + 25;
3) 3x² + kx + 72;
4) 4x² + 24х + k;
5) x² — 2 ( k + 2)х + (2k² + 3k + 4);
6) (k + 1) x²  —  (k  —  l)x + ( k + 1 );
7) (k — l)x² + ( k + l )x + (k — 1)?

538. Показать, что:
1) в трехчлене у = x²  + px + q можно выделить полный квадрат и представить его в виде (х + ^p/₂)² — (   — q);

2) при х = — ^p/₂  трехчлен у = x²  + px + q  принимает свое наименьшее значение
y_наим = q — .

539. В данных трехчленах выделить полные квадраты и определить, при каких значениях х каждый из этих трехчленов принимает наименьшее значение и какое именно:

1) x² + 6х + 16;        2) x² — х— 110;
3) x² — х+ 1;           4) x² + 5х —4.

540. Доказать, что:

1) трехчлен у = ax²  + bx + c можно представить в виде

2) при х = —  ^b/_2a  и а > 0 трехчлен у = ax²  + bx + c принимает наибольшее значение
у_наиб = — ;

3) при х =  —  ^b/_2a и а < 0 трехчлен у = ax²  + bx + c принимает наименьшее значение
у_наим = — ;

541. В данных трехчленах выделить полные квадраты и определить, при каких значениях х каждый из этих трехчленов принимает наибольшее или наименьшее значение; найти это наибольшее или наименьшее значение трехчлена:

1) 3x² + 4х + 1;          2) 4x² + 4х — 3;
3) 6x² — 13х + 6;      4) 10х — 23 — x².

542. Пусть x₁ и x₂ — корни уравнения x² — ах + а — 1 = 0, где а — действительное число. Найти значение а, при котором величина выражения x₁² + x₂² будет наименьшей. Найти это наименьшее значение.

543*. Доказать, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

544. Доказать, что при любых действительных значениях х:

1) выражение (х — 3) (х — 1) + 2 принимает положительные значения;
2) выражение (х — 1) (1 — 3х) — 1 принимает отрицательные значения.

545. Дан квадратный трехчлен у = ax²  + bx + c, где a, b и с — действительные числа; x₁ и x₂— корни трехчлена.
Доказать, что:
1) если D = b² — 4ас > 0 и x₁ < x₂, то у > 0 при а > 0 для всех действительных значений аргумента х < x₁ и х > x₂;   у < 0 для всех действительных значений аргумента
x₁ < х < x₂; если же a < 0, то у > 0 при всех x₁ < х < x₂  и  у < 0  при х < x₁ и х > x₂;

2) если D = b² — 4ас = 0, то при а > 0 трехчлен у > 0 для всех действительных значений х =/= — ^b/_2a ;  при а < 0 трехчлен у < 0 для всех действительных значений
х =/= — ^b/_2a .  При х = — ^b/_2a трехчлен у = 0;

3) если D = b² — 4ас < 0, то при а > 0 трехчлен у > 0 при всех действительных значениях х; при а < 0 трехчлен у < 0 при всех действительных значениях х.

Привести графическую иллюстрацию в каждом случае.

546. Каково необходимое и достаточное условие того, чтобы квадратный трехчлен
ax²  + bx + c при всех действительных значениях аргумента х принимал:
1) положительные значения; 2) отрицательные значения?

547. При каких значениях т трехчлен 2x² — 2х + 5т будет иметь положительные значения при любых действительных значениях х?

548. При каких значениях п трехчлен (п — 1)x² — 2пх + (п — 2) будет принимать отрицательные значения при любых действительных значениях х?

549. Дан квадратный трехчлен у = — 2x² + 3x + 5.

1) Определить, при каких значениях х данный трехчлен:
а) принимает свое наибольшее значение и какое именно;
б) возрастает;
в) убывает;
г) обращается в нуль;
д) принимает положительные значения;
е) принимает отрицательные значения.

2) Используя результаты исследования, построить график трехчлена.

550. Исследовать квадратные трехчлены и построить их графики:

1) у = x²  — 7x + 6;                 2) у = — 3x² + 8x + 3;
3) у = 4x² + 12x + 9;            4) у = — ¹/₃ x² + 2x — 3;
5) у = x² — 3x + 10;             6) у = — 2x² + 4x — 7;
7) у = | x² — 5x + 4 |;           8) у = | 2 — х —x² |.

ОТВЕТЫ