3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 6. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Понятие об иррациональном числе
305. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°.
1) Приняв меньший катет этого треугольника за единицу, найти длину гипотенузы.
2) Доказать, что при выбранной единице измерения длину большего катета этого треугольника нельзя выразить никаким рациональным числом.
3) Найти приближенные значения длины большего катета треугольника с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 по недостатку и по избытку и записать при помощи знаков неравенства, что эта длина заключена между соответствующими ее приближениями.
4) Дать геометрическую иллюстрацию на числовой оси процесса сближения точек, изображающих приближенные значения длины большего катета треугольника.
Какие из следующих чисел являются рациональными и какие иррациональными:
306. 1) √9 ; 2) √11; 3) √18; 4) 2/7; 5) 0; 6) —15,6; 7) —√5?
307. 1) 0,666...; 2) 0,313313331...; 3) 0,2424442777...; 4) 1,3131252525...;
5) 3,030030003...; 6) 0,277000...; 7)2,34234223422234...; 8) 5,1511555...?
308. Иррациональное число π , выражающее величину отношения длины окружности к своему диаметру, равно 3,1415926535....
Записать при помощи знаков неравенства приближенные значения числа π с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 по недостатку и по избытку.
309. Доказать, что не существует рационального числа,
1) квадрат которого равен: а) 3; б) 5; в) Р, где Р — простое число;
2) куб которого равен: а) 2; б) 3; в) 4.
310. 1) Правильно ли утверждение, что квадратный корень из рационального числа всегда число иррациональное?
2) Привести примеры, показывающие, что квадратный корень из рационального числа может быть выражен: а) целым числом; б) конечной десятичной дробью; в) бесконечной десятичной периодической дробью.
311. Привести примеры таких уравнений, для решения которых требуются иррациональные числа.
312. Дана функция у = х2.
1) Какими числами выражаются абсциссы точек графика этой функции, ординатами которых служат целые числа: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9?
2) Какие из этих абсцисс соизмеримы с единицей масштаба, какие несоизмеримы?
3) Найти приближенные значения иррациональных абсцисс с точностью до 0,01.
313. Длины отрезков (при одной и той же единице измерения) выражаются следующими числами: 3; 1,1; √2; 0,7; 2 11/13; √5; 0,012 (3).
Какие из этих отрезков соизмеримы и какие несоизмеримы с единицей длины?
314. Какие из следующих пар отрезков соизмеримы и какие несоизмеримы друг с другом, если длины этих отрезков при одной и той же единице измерения выражаются числами:
1) 2 и 2/5; 2) 5 и √5; 3) 0,5 √2 и 3/7 √2; 4) 0,1 (2) и 3 5/11; 5) 2 √2 и 0,1 √0,125?
315. 1) Если два отрезка несоизмеримы друг с другом, то могут ли оказаться соизмеримыми один из этих отрезков и а) половина второго; б) третья часть второго; в) п-я часть второго?
2) Соизмеримы ли медиана гипотенузы и гипотенуза прямоугольного треугольника?
316. Известно, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Как можно, используя это свойство, построить сколько угодно много различных по длине отрезков, несоизмеримых со стороной данного квадрата?
317. Может ли отношение двух отрезков, несоизмеримых с единицей длины, выражаться рациональным числом?
318. Соизмеримы ли отрезки, если их отношение выражается дробью:
1) 0,777...; 2) 2,121122111222...?
319. Рациональным или иррациональным числом выражается длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника, если длина каждого его катета: 1) равна 2 линейным единицам; 2) выражается числом √2 ?
320*. Из вершины А квадрата ABCD начали одновременно двигаться с одинаковой постоянной скоростью две точки: одна — по периметру квадрата, без изменения направления движения, а другая — по диагонали, между вершинами А и С, не задерживаясь в них. Определить, встретятся ли когда-либо эти две точки.
ОТВЕТЫ
