3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Свойства корней квадратного уравнения
376. Найти сумму и произведение корней каждого из следующих уравнений:
1) х2 — 9х + 20 = 0;
2) х2 + 2х — 80 = 0;
3) 12 х2 — х — 1 = 0;
4) 2 х2 + 13х + 21 = 0.
377. Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета.
378. Составить квадратное уравнение, если:
1) сумма его корней —7, а произведение 12;
2) сумма корней 1/30, а произведение — 1/30.
Составить квадратное уравнение по данным его корням.
379. 1) 5 и 2; 2) — 0,1 и 10; 3) 1/3 и — 1/4; 4) — 2/3 и — 2/3
380. 1) √2 и √3; 2) —√5 и √15; 3) 0 и —√6; 4) — √6 и — √6
381. 1) 5 — √5 и 5 + √5; 2) 1 + √3 и 1 — √3;
3) √3 + √2 и √3 — √2; 4) √2 — 1 и √2 + 1.
382. 1) т и п; 2) а + b и а — b; 3) p/q и q/p; 4) 
и 
.
383. 1) Может ли квадратное уравнение с рациональными коэффициентами иметь своими корнями числа:
а) 5 и 2 + √3, б) √2 и √5, в) √3 и — √3?
2) Почему иррациональные корни квадратного уравнения с рациональными коэффициентами должны быть сопряженными друг другу?
384. 1) Один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами равен √2 — 1. Чему равен второй корень?
2) Один из корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами равен 3 — √2. Можно ли найти другой корень? Дать обоснованный ответ.
385. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен √3 — 2.
386. Не решая уравнения х2 — 4х — 2 = 0, определить, является ли число √2 — 2 корнем этого уравнения.
387. 1) Один из корней уравнения х2 — х + а = 0 равен 2. Найти второй корень и свободный член этого уравнения.
2) Один из корней уравнения х2 + kx — 5 = 0 равен 5. Определить второй корень и коэффициент k.
388. Известно, что x1 и х2 — корни уравнения х2 + рх + q = 0. Найти сумму и произведение корней нового квадратного уравнения, если известно, что его корни равны корням данного уравнения, а) умноженным на т; б) сложенным с числом п.
389. Какая существует зависимость между коэффициентами уравнения
х2 + рх + q = 0, если известно, что один из его корней равен —1?
390. Один из корней уравнения х2 + рх + q = 0 равен — р. Определить q.
391. 1) Не вычисляя корней уравнения 5х2 — 7х — 34 = 0, составить новое уравнение, корни которого были бы обратны корням данного уравнения.
2) Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратны корням уравнения ах2 + bх + с = 0, с =/= 0. Чем отличается полученное уравнение от исходного?
392. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа, противоположные корням уравнения х2 + рх + q = 0. Почему в этом случае меняется знак второго члена и не меняется знак свободного члена?
393. Не вычисляя корней уравнения:
1) х2 + х — 56 = 0; 2) х2 — 7х — 8 = 0,
составить новое квадратное уравнение, корни которого были бы противоположны корням данного уравнения.
394. Какая зависимость существует между коэффициентами квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0, если известно, что корни его — взаимно обратные числа?
395. При каких значениях а один из корней уравнения 4х2 — 15х + 4а3 = 0 равен квадрату другого корня?
396. Не вычисляя корней уравнения 2х2 — 5х — 3 = 0, найти сумму и разность:
1) квадратов его корней; 2) кубов его корней.
397. Дано уравнение х2 + рх + q = 0. Выразить через р и q:
1) сумму и разность квадратов его корней;
2) сумму и разность кубов корней этого уравнения.
398. В уравнении х2 — 4х + q = 0 определить то значение q, при котором его корни
x1 и х2 удовлетворяют условию 5x1 + 9x2 = 0.
399. Дано уравнение ах2 + bх + с = 0.
1) Доказать, что корни уравнения х2 + bх + aс = 0 равны корням данного уравнения, умноженным на а.
2) Используя это свойство, устно решить следующие неприведенные квадратные уравнения:
а) 2х2 — 11х + 15 = 0; б) 5х2 — 11х + 6 = 0;
в)10х2 —11х + 3 = 0; г) 3х2 + 11х + 6 = 0;
д) 2х2 — 9х + 9 = 0; е) 2х2 + х — 10 = 0;
ж) 3х2 + х — 4 = 0; з) 4х2 + 12х + 5 = 0.
400*. Дано уравнение ах2 + bх + с= 0.
1) Доказать, что при условии а + b + с = 0 один из корней данного уравнения равен единице, а другой корень равен отношению коэффициентов c/a.
2) Показать, что если а — b + с = 0, то один из корней уравнения равен —1, а другой корень равен — c/a .
3) Решить устно следующие уравнения:
а) 5х2 — 7х + 2 = 0;
б) 6х2 + 17х + 11 = 0;
в) (а2 + b2)х2 + 2abx — (а + b)2 = 0;
г) 3аbх2 — (а2 + ab + b2)х + (а — b)2 = 0;
д) 9х4 — 13х2 + 4 = 0;
е) 27х2 — 35x3 + 8 = 0;
ж) 11х2 + 17х + 6 = 0;
з) 2abх2 + (а + b)2х + а2 + b2 = 0.
Разложить на множители следующие трехчлены:
401. 1) х2 + 7х + 10; 2) х2 + 3х — 108;
3) х2 — 17х + 72; 4) х2 + 5,9х + 8,5.
402. 1) х2 — 6 х + 4; 2) х2 — 8 х + 13;
3) 2 х2 + 3 х — 6,48; 4) 30 х2 + 37 х + 10.
403. 1) y2 — ay — (ab + b2); 2) z2 — {2ab + с)z + 2abc;
3) х2 + ах — (а √b + b); 4) (1 — a2) х2 — 4аx — (1 — a2).
404. Сократить следующие дроби:
ОТВЕТЫ
