3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Свойства корней квадратного уравнения 376. Найти сумму и произведение корней каждого из следующих уравнений: 1) х2 — 9х + 20 = 0; 377. Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета. 378. Составить квадратное уравнение, если: Составить квадратное уравнение по данным его корням. 379. 1) 5 и 2; 2) — 0,1 и 10; 3) 1/3 и — 1/4; 4) — 2/3 и — 2/3 380. 1) √2 и √3; 2) —√5 и √15; 3) 0 и —√6; 4) — √6 и — √6 381. 1) 5 — √5 и 5 + √5; 2) 1 + √3 и 1 — √3; 382. 1) т и п; 2) а + b и а — b; 3) p/q и q/p; 4) и . 383. 1) Может ли квадратное уравнение с рациональными коэффициентами иметь своими корнями числа: а) 5 и 2 + √3, б) √2 и √5, в) √3 и — √3? 2) Почему иррациональные корни квадратного уравнения с рациональными коэффициентами должны быть сопряженными друг другу? 384. 1) Один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами равен √2 — 1. Чему равен второй корень? 2) Один из корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами равен 3 — √2. Можно ли найти другой корень? Дать обоснованный ответ. 385. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен √3 — 2. 386. Не решая уравнения х2 — 4х — 2 = 0, определить, является ли число √2 — 2 корнем этого уравнения. 387. 1) Один из корней уравнения х2 — х + а = 0 равен 2. Найти второй корень и свободный член этого уравнения. 2) Один из корней уравнения х2 + kx — 5 = 0 равен 5. Определить второй корень и коэффициент k. 388. Известно, что x1 и х2 — корни уравнения х2 + рх + q = 0. Найти сумму и произведение корней нового квадратного уравнения, если известно, что его корни равны корням данного уравнения, а) умноженным на т; б) сложенным с числом п. 389. Какая существует зависимость между коэффициентами уравнения 390. Один из корней уравнения х2 + рх + q = 0 равен — р. Определить q. 391. 1) Не вычисляя корней уравнения 5х2 — 7х — 34 = 0, составить новое уравнение, корни которого были бы обратны корням данного уравнения. 2) Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратны корням уравнения ах2 + bх + с = 0, с =/= 0. Чем отличается полученное уравнение от исходного? 392. Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы числа, противоположные корням уравнения х2 + рх + q = 0. Почему в этом случае меняется знак второго члена и не меняется знак свободного члена? 393. Не вычисляя корней уравнения: 1) х2 + х — 56 = 0; 2) х2 — 7х — 8 = 0, составить новое квадратное уравнение, корни которого были бы противоположны корням данного уравнения. 394. Какая зависимость существует между коэффициентами квадратного уравнения 395. При каких значениях а один из корней уравнения 4х2 — 15х + 4а3 = 0 равен квадрату другого корня? 396. Не вычисляя корней уравнения 2х2 — 5х — 3 = 0, найти сумму и разность: 397. Дано уравнение х2 + рх + q = 0. Выразить через р и q: 398. В уравнении х2 — 4х + q = 0 определить то значение q, при котором его корни 399. Дано уравнение ах2 + bх + с = 0. 1) Доказать, что корни уравнения х2 + bх + aс = 0 равны корням данного уравнения, умноженным на а. 2) Используя это свойство, устно решить следующие неприведенные квадратные уравнения: а) 2х2 — 11х + 15 = 0; б) 5х2 — 11х + 6 = 0; 400*. Дано уравнение ах2 + bх + с= 0. 1) Доказать, что при условии а + b + с = 0 один из корней данного уравнения равен единице, а другой корень равен отношению коэффициентов c/a. 2) Показать, что если а — b + с = 0, то один из корней уравнения равен —1, а другой корень равен — c/a . 3) Решить устно следующие уравнения: а) 5х2 — 7х + 2 = 0; Разложить на множители следующие трехчлены: 401. 1) х2 + 7х + 10; 2) х2 + 3х — 108; 402. 1) х2 — 6 х + 4; 2) х2 — 8 х + 13; 403. 1) y2 — ay — (ab + b2); 2) z2 — {2ab + с)z + 2abc; 404. Сократить следующие дроби: ОТВЕТЫ
|