3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Исследование корней квадратного уравнения 405. Уравнение второй степени с одним неизвестным приведено к виду При каких значениях а, b, с и соотношениях между ними это уравнение: 406. Написать общий вид квадратного уравнения, заведомо имеющего действительные корни. 407. Не решая квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, найти его корни, зная, что дискриминант этого уравнения равен b2 . 408. 1) Указать условие, при выполнении которого квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет иррациональные корни. 2) Не решая уравнений, определить, какие из них имеют рациональные и какие иррациональные корни. а) х2 + 8х — 35 = 0; 409. При каких значениях т каждое из следующих уравнений имеет два равных корня: 1) х2 + 6х + т = 0; 2) х2 + тх + 25 = 0; 3) тх2 — 4x + 1 = 0; 4) mх2 — 4х + т = 0. 410. При каких значениях k каждое из следующих уравнений имеет два различных действительных корня: 1) х2 — 4х + k = 0; 411. При каких значениях п каждое из следующих уравнений не имеет действительных корней: 1) х2 — 8х + 2п = 0; 412. Не решая следующих уравнений, определить, какие из них имеют действительные корни: а) различных знаков; б) положительные; в) отрицательные: 1) х2 — 18х + 31 = 0; 413. Не решая данных уравнений, указать, какие из них имеют действительные корни противоположных знаков и какой из этих корней каждого уравнения имеет большую абсолютную величину: 1) 11х2+ 6х —6 = 0; 414. Дано уравнение ах2 + bх + с = 0, где а, b, с — действительные числа, не равные нулю. Принимая а > 0, исследовать корни x1 и х2 этого уравнения по его дискриминанту и коэффициентам. Результаты исследования свести в следующую таблицу (3) и подтвердить примерами. 415. При каких значениях а следующие уравнения будут иметь два положительных неравных корня: 1) 3х2 — 6х + а = 0; 2) ах2 + 2 (а — 6)х + а = 0? 416. Найти значение k так, чтобы каждое из следующих уравнений имело два равных: а) положительных корня; б) отрицательных корня: 1) 5х2 + 2kx + 5 = 0; 2) kх2 — (k — 7)х + 9 = 0. 417. При каких значениях а уравнение (а — 2)х2 + 2 (а — 3)х + а —5 = 0 имеет два действительных корня: 1) положительных; 2) отрицательных; 3) разных знаков, причем отрицательный корень имеет меньшую абсолютную величину; 4) разных знаков, причем положительный корень имеет меньшую абсолютную величину? 418. При каких значениях а уравнение х2 — 2ах + a2 — 1 = 0 имеет два различных корня, заключенных в интервале (1,5)? 419*. 1) Доказать, что значение выражения х2 + рх + q при х = — p/2 равно дискриминанту уравнения х2 + рх + q = 0, взятому с противоположным знаком. Как воспользоваться этим свойством при исследовании корней приведенного квадратного уравнения? 2) Исследовать уравнения: а) х2 — 12х + 9 = 0; 420. 1) Показать, что координаты точек пересечения прямой х + у = — p и равнобочной гиперболы xy = q (p и q — данные действительные числа) являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0. Пользуясь графиком, выяснить условия существования действительных корней этого уравнения. 2) Применяя доказанную теорему, решить графически следующие уравнения: а) х2 — 2х — 3 = 0. Сравнить с графиком (рис. 6); 421. Показать на графике, что уравнение х2 — 2х + а = 0: 1) при а < 0 имеет два действительных корня разных знаков, причем абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня; Исследовать каждый случай путем построения: 422. Дано уравнение 2х2 + 5х + а = 0. Показать на графике, что: 1) при а < 0 данное уравнение имеет два действительных корня разных знаков, причем абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня; Исследование провести одним из способов, указанных в задаче 421. 423. Исследовать графически следующие уравнения: 1) х2 — 0,5х + а = 0; 424*. x1 — вещественный корень уравнениях х2 + рх + q = 0, x2 — вещественный корень уравнения х2 — рх — q = 0. ОТВЕТЫ
|