3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Исследование корней квадратного уравнения

405. Уравнение второй степени с одним неизвестным приведено к виду
ах2 + bх + с = 0.

При каких значениях а, b, с и соотношениях между ними это уравнение:
1) имеет различные действительные корни;
2) имеет равные действительные корни;
3) не имеет действительных корней?

406. Написать общий вид квадратного уравнения, заведомо имеющего действительные корни.

407. Не решая квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, найти его корни, зная, что дискриминант этого уравнения равен b2 .

408. 1) Указать условие, при выполнении которого квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет иррациональные корни.

2) Не решая уравнений, определить, какие из них имеют рациональные и какие иррациональные корни.

а) х2 + 8х —  35 = 0;
б) х2 —  8х + 9 = 0;
в) 5х2 + 7х + 2 = 0;
г) 3х2 + 12х + 11 = 0;
д) 7х2 — 5х — 2 = 0;
е) 9х2 — 30х + 25 = 0.

409. При каких значениях т каждое из следующих уравнений имеет два равных корня:

1) х2 + 6х + т = 0;      2) х2 + тх + 25 = 0;

3) тх2 — 4x + 1 = 0;    4) 2 — 4х + т = 0.

410. При каких значениях k каждое из следующих уравнений имеет два различных действительных корня:

1) х2 — 4х + k = 0;      
2) х2 + kx + 9 = 0;
3) (k — 4)х2 + 2 (k — 2) х + k = 0;
4) 2 + 2(k + 1)x + k + 3 = 0.

411. При каких значениях п каждое из следующих уравнений не имеет действительных корней:

1) х2 — 8х + 2п = 0;
2) 4х2 + 3nx + 36 = 0;
3) 4/5 2х + 5п = 0;
4) (п —  1)х2 + пх + п + 1 = 0.

412. Не решая следующих уравнений, определить, какие из них имеют действительные корни: а) различных знаков; б) положительные; в) отрицательные:

1) х2  — 18х + 31 = 0;
2) х2  + 18х + 31 = 0;
3) х2  — 18х — 31 = 0;
4) х2  + 18х — 31 = 0;
5) х2  — 7х + 13 = 0;
6) 15х2  + 17х — 8 = 0;
7) 3х2  — 18х + 25 = 0;
8) 13х2  +  х — 120 = 0.

413. Не решая данных уравнений, указать, какие из них имеют действительные корни противоположных знаков и какой из этих корней каждого уравнения имеет большую абсолютную величину:

1) 11х2+ 6х —6 = 0;
2) х2 — 16х +19 = 0;
3) 17х2 — 15х + 4 = 0;
4) 3х2 — 7х — 4 = 0;
5) 5х22/3 х  4/5  = 0;
6) х2 — ( 3+ √2) х + 3√2=0.

414. Дано уравнение  ах2 + bх + с  = 0, где а, b, с — действительные числа, не равные нулю. Принимая а > 0, исследовать корни x1  и   х2  этого уравнения по его дискриминанту и коэффициентам. Результаты исследования свести в следующую таблицу (3) и подтвердить примерами.

415. При каких значениях а следующие уравнения будут иметь два положительных неравных корня:

1) 3х2 — 6х + а = 0;            2) ах2 + 2 (а — 6)х + а = 0?

416. Найти значение k так, чтобы каждое из следующих уравнений имело два равных: а) положительных корня; б) отрицательных корня:

1) 5х2 + 2kx + 5 = 0;         2) 2 — (k — 7)х + 9 = 0.

417. При каких значениях а уравнение (а — 2)х2 + 2 (а — 3)х + а —5 = 0 имеет два действительных корня: 1) положительных; 2) отрицательных; 3) разных знаков, причем отрицательный корень имеет меньшую абсолютную величину; 4) разных знаков, причем положительный корень имеет меньшую абсолютную величину?

418. При каких значениях а уравнение х2 — 2ах + a2 — 1 = 0 имеет два различных корня, заключенных в интервале (1,5)?

419*. 1) Доказать, что значение выражения х2 + рх + q  при х = —  p/2  равно дискриминанту уравнения х2 + рх + q = 0, взятому с противоположным знаком. Как воспользоваться этим свойством при исследовании корней приведенного квадратного уравнения?

2) Исследовать уравнения:

а) х2  — 12х + 9 = 0;
б) х2  + 10х + 26 = 0;
в) х2  — 2 (а — b)х — 2аb = 0.

420. 1) Показать, что координаты точек пересечения прямой х + у = — p и равнобочной гиперболы xy = q  (p и q — данные действительные числа) являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0. Пользуясь графиком, выяснить условия существования действительных корней этого уравнения.

2) Применяя доказанную теорему, решить графически следующие уравнения:

а) х2 — 2х — 3 = 0. Сравнить с графиком (рис. 6);
б) х2 — 5х + 4 = 0;  
в) х2 — 2х + 2 = 0;
г) х2 — 4 = 0;
д) 2х2 + 3х — 14 = 0.

421. Показать на графике, что уравнение х2 — 2х + а = 0:

1) при а < 0 имеет два действительных корня разных знаков, причем абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня;
2) при 0 < а < 1 имеет два различных положительных корня;
3) при а > 1 не имеет действительных корней.

Исследовать каждый случай путем построения:
а) параболы у = х2 — 2х + а;
б) параболы у = х2 и прямой у = 2х — а;
в) параболы у = х2 — 2х и прямой у = — а;
г) прямой х  + у = 2 и гиперболы ху = а.

422. Дано уравнение 2х2 + 5х + а = 0. Показать на графике, что:

1) при а < 0 данное уравнение имеет два действительных корня разных знаков, причем абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня;
2) при 0 < а < 3 1/8  уравнение имеет два различных отрицательных корня;
3) при а > 3 1/8 уравнение не имеет действительных корней.

Исследование провести одним из способов, указанных в задаче 421.

423. Исследовать графически следующие уравнения:

1) х2 — 0,5х + а = 0;
2) х2 + х + а = 0;
3) х2 — 6х + а = 0;
4) 0,5х2 + 3,5x + а = 0,
5) х2 + ах + 4 = 0;
6) 2х2 + 3ах + 18 = 0.

424*. x1 — вещественный корень уравнениях  х2 + рх + q = 0, x2 — вещественный корень уравнения х2 — рх — q = 0.
Доказать, что уравнение х2 + 2рх + 2q = 0 = 0 имеет вещественный корень, заключенный между x1 и x2 (р и q — вещественные числа).

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz