3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 7. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задачи на составление квадратных уравнений
425. 1) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 1201. Найти эти числа.
2) Сумма квадратов двух последовательных четных чисел равна 1060. Найти эти числа.
3) Сумма квадратов двух последовательных нечетных чисел равна 1354. Найти эти числа.
426. 1) Возможен ли такой прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются: а) тремя последовательными целыми числами, б) тремя последовательными четными числами, в) тремя последовательными нечетными числами?
2) Возможен ли такой выпуклый многоугольник, в котором число всех диагоналей было бы равно 12?
3) В каком выпуклом многоугольнике число сторон равно числу всех его диагоналей?
427*. При каком основании системы счисления число 314 запишется как 222?
428*. При каком основании системы счисления справедливо равенство:
1) 532 — 244 = 244; 2) 152 = 321?
429. При умножении двух чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив на единицу цифру сотен в произведении. При делении (для проверки ответа) полученного произведения на меньший из множителей он получил в частном 45, а в остатке 14. Найти множители.
430. От дома до школы 400 м. Ученик старшего класса делает на этом пути на 300 шагов меньше, чем ученик младшего класса, так как у него шаги на 30 см больше. Определить длину шага каждого ученика.
431. Для перевозки 60 т груза за один рейс было затребовано некоторое количество автомашин определенной грузоподъемности. На перевозку были направлены автомашины грузоподъемностью на полтонны меньшей, но на 4 автомашины больше. Какое количество автомашин было затребовано?
432. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 10 км/ч, прошла вниз по течению 91 км и вернулась обратно. Определить скорость течения реки, зная, что на весь путь было затрачено 20 ч.
433. Поезд должен был пройти 220 км в определеннее время. Однако через 2 ч движения он был задержан на 10 мин, и, чтобы прийти вовремя в место назначения, он увеличил скорость на 5 км/ч. Определить первоначальную скорость поезда.
434. Из колхоза в город, расстояние между которыми 35 км, выехал велосипедист. Через 30 мин из того же колхоза по той же дороге в город выехал второй велосипедист, который за час проезжал на 2 км больше первого. Сколько километров в час проезжал каждый велосипедист, если известно, что второй догнал первого велосипедиста, не доезжая 5 км до города?
435. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния в 325 км, в новом расписании сокращено на 40 мин. Определить среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием.
436. Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дней, затем она была заменена второй, которая закончила работу за 6 дней. За сколько дней каждая бригада в отдельности выполнила бы задание, если известно, что второй бригаде для этого нужно на 5 дней больше, чем первой?
437. Числитель дроби на 2 больше ее знаменателя. Если сложить эту дробь с обратной ей дробью, то получится 2 4/35. Найти исходную дробь.
438. Бак имеет два крана, через первый он наполняется, через второй опоражнивается, причем опоражнивается на 1 мин быстрее, чем наполняется. Однажды, когда бак был наполнен до половины, открыли оба крана, и через 10 мин бак опорожнился. Oпреде лить, за сколько минут первый кран наполнит бак, если второй будет закрыт.
439*. Два автомобиля выехали в одном и том же направлении одновременно из одного пункта. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а скорость второго — 40 км/ч. Спустя 0,5 ч из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал второй автомобиль, а после этого через 1,5 ч догнал первый автомобиль. Определить скорость третьего автомобиля.
440*. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 сек скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Определить скорости точек.
441. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15% больше первого?
442. Расстояние между станциями А и В равно 120 км. Из А в В отправляется один поезд, а через 3 ч другой, проходящий в час на 10 км больше первого. Второй поезд прибывает в В на 2 ч позже первого. Сколько времени находился в пути первый поезд?
443. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу — первый из А, а второй из В — и встретились через 3 ч. За сколько времени прошел расстояние между пунктами каждый пешеход, если первый пришел в В на 2,5 ч позже, чем второй пришел в А?
444. Двое рабочих, работая совместно, могут выполнить некоторую работу за 6 ч. Если сначала первый рабочий выполнит половину этой работы, а затем другой — остальную ее часть, то работа будет закончена за 12 ч 30 мин. Во сколько времени каждый рабочий, работая отдельно, может выполнить всю работу?
445. Из шахматного турнира двое участников выбыли, причем один сыграл 10 партий, а второй только одну. Поэтому в турнире было сыграно всего 55 партий. Определить, играли ли выбывшие участники между собой и сколько было участников первоначально.
Решить следующие задачи и исследовать полученные решения.
446. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый из них сыграл по одной партии с каждым из остальных участников, а всего было сыграно а партий? Какие значения может принимать параметр а?
447. Для отправки п пионеров в лагерь было заказано несколько автобусов. К назначенному времени один автобус не прибыл, поэтому в каждый автобус пришлось посадить на 5 человек больше, чем предполагалось. Сколько автобусов было занято перевозкой пионеров?
448. Автомобиль должен был пройти S км за определенное время. Пройдя 18 км, он сделал остановку на 15 мин и, чтобы прийти вовремя, увеличил скорость на т км/ч. Найти первоначальную скорость автомобиля.
449. Из двух станций, расстояние между которыми а км, были отправлены навстречу друг другу два поезда. Один поезд вышел на час раньше другого со скоростью на т км/ч меньшей скорости другого поезда. Определить скорость каждого поезда, если известно, что они встретятся на середине пути.
450. Пароход прошел по течению реки т км и вернулся обратно, затратив на весь путь 8 ч. Найти собственную скорость парохода, зная, что скорость течения реки равна
3 км/ч.
451. В раствор, содержащий Р г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация раствора уменьшилась на 25%. Сколько воды содержал раствор?
452. Выпуклый многоугольник имеет всего d диагоналей. Сколько у этого многоугольника внутренних углов?
453. Число всех диагоналей выпуклого многоугольника на а больше числа его сторон. Определить число сторон этого многоугольника. Найти число сторон многоугольника, соответствующее наименьшему положительному значению параметра а.
454. Две силы приложены к телу под прямым углом друг к другу. Одна из этих сил на b кГ больше другой, а их равнодействующая на 2b кГ меньше суммы этих сил. Найти величину каждой составляющей силы.
455. К окружности из одной точки проведены касательная и секущая. Длина секущей равна 20 см. Найти длину касательной, если она на а см больше внешней части секущей.
456. В прямоугольном листе жести со сторонами а см и b см (а > b) требуется вырезать прямоугольное отверстие площадью S см2 так, чтобы его края были на одинаковом расстоянии от краев листа. Определить это расстояние.
457*. Перевозка одной тонны груза от пункта М до пункта N по железной дороге обходится на b коп. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти из М в N по железной дороге на сумму 5 руб., если водным путем на ту же сумму можно перевезти на k тонн больше, чем по железной дороге?
ОТВЕТЫ
