3 ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 8. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Решить биквадратные уравнения:

458. 1) х⁴ + х² — 2 = 0;
        2) х⁴ — 3х² — 4 = 0;
        3) 9х⁴ + 8х² — 1 = 0;
        4) 20х⁴ — х² — 1 = 0.

459. 1) х⁴ — 26х² + 25 = 0;
        2) х⁴  — 40х² + 144 = 0;
        3) 4х⁴  — 5х² + 1 = 0;
        4) 4х⁴  — 17х² + 4 = 0.

460. 1) х⁴  — 18х² + 81=0;
        2) 256х⁴  — 32х² +1=0;
        3) х⁴  — 8х² + 20 = 0;
        4) 5х⁴  — 4х² + 1 = 0.

461. 1) х⁴  — 9х² = 0;
        2) 4х⁴  — v = 0;
        3) х⁴  + 0,1х² = 0;
        4) 2х⁴  + 5х² = 0.

462. Убедиться, что уравнение х⁴ + 10х² + 9 = 0 не имеет действительных корней. Почему этот вывод можно сделать, не решая уравнения?

463. Дано биквадратное уравнение ах⁴ + bх² + с = 0, где а, b, с—данные действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательное неизвестное у = х², исследовать корни данного уравнения и результаты исследования занести в таблицу 4.

464. Решить уравнения:

 1) х⁴— (а² + 1) х² + а² = 0;
 2) х⁴ + 16т² = 16х² + m²х²;
 3) х⁴ + а²b² = (а² + b²)х²;
 4) т²п²х⁴ — (т⁴ + n⁴) х² + m²n² = 0;
 5) х⁴ — (mn + 1)х² + т« = 0;
 6) х⁴ + mn = (т + n)х².
 

465. Почему биквадратное уравнение, имеющее корень, равный т, имеет также и второй корень, равный — т?

466. Один из корней биквадратного уравнения равен 2, а другой корень 2√2. Составить уравнение.

* 467. Составить биквадратное уравнение, сумма квадратов корней которого равна 26, а произведение корней равно 36.

468. Разложить на множители:

1) х⁴ — 12х²  + 32;
2) х⁴ — 20х²  + 96;
3) 6х⁴ — 5х²  + 1;
4) х⁴ — (1 — 2а + 2а²)х²  + а²(а —1)².

469. Сократить дроби:

470. Решить уравнения посредством введения вспомогательного неизвестного:

471. Решить уравнения выделением из левой части полного квадрата:

1) х⁴ — 20х² + 64 = 0;
2) х⁴ — 13х² + 36 = 0;
3) х⁴ — 4х² + 1 = 0;
4) х⁴ — 2х² +1 = 0.

472*. Зная, что т и п— корни уравнения х² + рх + q = 0, найти биквадратное уравнение, имеющее корни —т, —п, т и п.

473. Решить уравнения:

474*. В какой системе счисления число 100 запишется в виде 10 201?

475. Сумма площадей двух квадратов равна 4,25 дм². Найти коэффициенты подобия этих квадратов, если известно, что их стороны выражаются взаимно обратными числами.

476. Каким радиусом следует описать дугу с центром на окружности, радиус которой R, чтобы расстояние между точками пересечения этой дуги с данной окружностью было  равно а, где а < 2R.
Применить полученную формулу решения для выражения стороны правильного шестиугольника, восьмиугольника и двенадцатиугольника, вписанных в данную окружность, полагая а соответственно равным R√3; R√2 и R.

ОТВЕТЫ