4 СТЕПЕНb С РАЦИОНАЛbНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

§ 16*. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ

855. Дана функция у = х^п, где п — натуральное число.

1) Какие области определения и изменения имеет эта функция?

2) Доказать, что: а) в интервале (0; + ∞) функция возрастает при любом натуральном п; б) в интервале (— ∞; 0) функция  х^п убывает при четном п и возрастает при нечетном п.

3) Показать, что при любом п график функции проходит через начало координат и точку (1; 1).

4) Выяснить условие, при котором график функции х^п симметричен:
а) относительно оси ординат; б) относительно начала координат.

856. Дана функция у = х^—k, где k — натуральное число.

1) Найти область определения этой функции и область ее значений, если:
a) k — четное число; б) k — нечетное число.

2) Показать, что: а) при нечетном k функция х^—k убывает во всей области ее определения; б) при четном k функция х^—k возрастает в интервале (— ∞; 0) и убывает в интервале (0; + ∞).

3) Доказать, что график функции х^—k :
а) при нечетном k симметричен относительно начала координат; б) при четном k симметричен относительно оси ординат.

4) Имеет ли асимптоты график данной функции?

857. Дана функция    , где  ^p/_q — несократимая дробь.

1) Исследовать функцию при ^p/_q > 0, рассмотрев случай:
а) р и q — нечетные числа; б) q — четное число.
Привести графическую иллюстрацию в каждом случае.

2) Выполнить предыдущее задание, считая  ^p/_q < 0.