5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
§ 17. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
Понятие о векторе. Сложение и вычитание векторов
858. Среди величин: масса, сила, длина, площадь, объем, скорость, ускорение, температура — указать векторные и скалярные.
859. Отрезки АВ и CD прямой ММ (рис. 19) имеют равные длины. Каким соотношением связаны между собом векторы: 1) AB> и CD>; 2) AB> и DC>?
860. Векторы AB>, BC>, CD> и AD> служат сторонами квадрата ABCD (рис. 20).
1) Равны ли векторы AB> и BC>?
2) Записать соотношение, связывающее векторы AB> и CD>; векторы AB> и BC>.
3) Указать, какое из неравенств: AC> > AB> и | AC>| > | AB>| — справедливо и какое не имеет смысла. Почему?
861. Даны векторы а и b.
1) Построить векторы а + b и а — b .
2) При каких условиях векторы а + b и а — b: а) лежат на одной прямой; б) взаимно перпендикулярны?
862. На векторах AB> = т и AD> = n построен параллелограмм ABCD. Выразить через т и п: 1) вектор AC>; 2) вектор BD>.
863. 1) Построить сумму векторов A1A2> + A2A3>, если A1 (—1; 1), A2 (—0,5; —2) и
A3 (2,5; 2).
2) На плоскости даны точки A1 (—4; 4,2), A2 (6; 4,2), A3 (—2;—1), A4 (1; 8) и A5(4; — 1). Построить сумму векторов A1A2> + A2A3> + A3A4> + A4A5> .
864. На плоскости даны точки А (—4; —1), В (1; 1,5), С (3,5; 5), D (10; 6) и E (5;—4). Построить разность векторов:
1) AB>— CE>;
2) AB>— DC>;
3) BE>— CD>.
865. Каким условием должны быть связаны векторы а и b, имеющие общее начало, чтобы вектор а + b делил угол между ними пополам?
866. Какому условию должны удовлетворять векторы а, b и с, чтобы они могли служить сторонами треугольника?
867. Показать, что | а + b | < | а | + | b |. В каком случае имеет место знак равенствa?
868. Какой особенностью должны обладать векторы а и b, чтобы имело место соотношение:
1) | а + b | = | а — b |;
2) | а + b | = | а | — | b |;
3) | а — b | = | а | + | b |?
869. На подъемном кране скорость вертикального подъема груза 20 м/мин, скорость передвижения тележки крана 10 м/мин. Найти графически результирующую скорость движения груза. Ответ проверить вычислением.
870. Три силы, по 15 кГ каждая, действуют на тело в одной плоскости. Найти графически равнодействующую этих сил, если углы между силами по 60°.
871. Дать геометрическое построение разложения данного вектора a на два слагаемых, если известны:
1) направления обоих слагаемых;
2) длина и направление одного слагаемого;
3) направление одного и длина другого слагаемого;
4) длина обоих слагаемых.
В каждом случае выяснить условие возможности разложения и найти число решений, если ни один из векторов-слагаемых не параллелен а.
872. Шар весом 3 кГ висит на веревке у стены (рис. 21). Определить графически силы натяжения веревки и давления шара на стену.
873. Фонарь, вес которого Р, подвешен на кронштейне в точке О (рис. 22), причем горизонтальная балка кронштейна испытывает растяжение Q, а наклонный подкос — сжатие F.
Выразить векторным равенством зависимость между силами Р, Q и F и вычислить Q и F, если вес фонаря Р ≈ 5 кГ, а подкос образует с вертикалью угол α ≈ 40°.
ОТВЕТЫ
