5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА

§ 18. ПРОЕКЦИИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Координаты вектора на плоскости

885. Векторы а = {x₁; у₁} и b = {x₂; у₂} отложены от начала координат. (В выражении {х; у} буквы х, у обозначают проекции вектора на оси ОХ и OY.) Как расположены друг относительно друга эти векторы, если:

1) x₁ = x₂ ; у₁ = — у₂; 2) x₁ = — x₂;   у₁ = у₂; 3)  x₁ = — x₂;  у₁ = — у₂?

886. Определить координаты вектора  | AB^>|, если точки A и Вимеют координаты:

1) A (2; 0), В(0; 3);                2) A (—3; 1), В (2; 0);
3) А (4; 2), В (—1; —3);      4) А (—1; —2), В (1; —5).

887. От точки A отложен вектор AB^> = m. Найти координаты точки В, если:
1) А (0; 0), m = {2; —3}; 2) A (—5; 4), m ={2; —5}.

888. На сторонах ОА = 3 и ОС = 4 прямоугольника ОAВС отложены единичные векторы i и j (рис. 25).

1) Выразить через i и j векторы  OA^>,  AB^>,  BC^>,  CO^> и CA^>.
2) Выполнить то же задание относительно векторов OM^>, ON^>, KA^> и BK^>, где М и N — середины сторон AВ и ВС, К — точка пересечения диагоналей прямоугольника.

889. На плоскости давы точки A (0; —2) и B (4; 3).
1) Построить радиусы-векторы OA^> и OB^> этих точек и найти их координаты.
2) Определить координаты векторов OM^>= OA^>+ OB^> и ON^> = OA^>— OB^>. Проверить результат построением.
3) Выразить векторы OA^>, OB^>, OM^> и ON^> через единичные векторы i и j координатных осей.

890. Зная для радиуса-вектора  r  координаты точки плоскости, написать его разложение по единичным векторам i и j координатных осей:
1) r  (3; 1); 2) r  (— 4; 5); 3) r  (—2; —7).

891. Найти разложение радиуса- вектора середины М отрезка АВ по единичным векторам i и j координатных осей, если: 1) A (— 6; 1) и В (2; 3); 2) A (—8; 3) и В (4; —1).

892. Построить радиус-вектор r, зная его разложение по единичным векторам i и j координатных осей.
1) r = 2i + 3j; 2) r = — 3i — 5j, 3) r = — 5i + 3,5j.

893. Дано: а = 2i —5j и b = — 4i— 2,2j. Найти разложение вектора с по единичным векторам i и j координатных осей, если:

1) с = а + b; 2) с = а — b; 3) с = 3а — ^b/₂.

894. Какая существует связь между длиной вектора плоскости и его координатами? Выразить длину вектора AB^> через координаты его начала A (x₁; у₁) и конца В (x₂; у₂).

895. На плоскости даны точки А (2; 5) и В (1; —1).
1) Построить вектор OM^> = OA^>+ OB^> и вычислить его длину.
2) Выразить векторы OA^>, OB^> и OM^> через единичные векторы  i и j  координатных осей.

ОТВЕТЫ