5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА

§ 19. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ И ДУГ

Градусное измерение углов и дуг

896. 1) Какие величины принимаются за единицу при градусном измерении углов и дуг?
2) В чем сходство и отличие градусной меры центрального угла и градусной меры соответствующей ему дуги?
3) Почему в практических вычислениях в большинстве случаев пользуются градусной мерой углов (дуг)?

897. Что называется углом между вектором и осью? Какие условия надо ввести для однозначного определения величины этого угла?

898. Векторы а и b параллельны оси l, векторы т и п перпендикулярны оси l (рис. 26). Определить наименьший неотрицательный угол между каждым из векторов и осью l.

899. Пользуясь транспортиром, измерить наименьший положительный угол, образованный каждым из данных векторов с осью l (рис. 27).

900. 1) Что называется углом между двумя векторами?
2) Определить наименьшее неотрицательное значение угла ( а,^{^} b) между векторами  
а и b, изображенными на рисунке 28.

901. На рисунке 29 дан вектор т и точка О. Приняв точку О за начало нового вектора
n, построить этот вектор так, чтобы он образовал с данным вектором угол, равный:
1) 0° ; 2.) 180° ; 6) — 45° , 4) 210°; 5) —120°.

902 Три вектора а, b и с, имеющие равные длины, образуют правильный треугольник (рис. 30). Определить наименьшие положительные значения углов
( а,^{^} b) ; ( а,^{^}c) ; ( b,^{^} c) ; ( b,^{^} a) ; ( c,^{^} a); ( c,^{^} b).

903 Вектоэ  OA^> занимавший горизонтальное положение, повернулся вокруг своего начала на угол α . Выполнить построение, если угол α  равен:

1) 135°; 2) 270°; 3) — 210°; 4) 540°; 5) —750°; 6) 1200°; 7) —1080°.

904. Измерить с помощью транспортира /  AOM, изображенный на рисунках 31—33.

905. Определить в градусах величину угла, описываемого минутной стрелкой часов:
1) за 5 мин; 2) за 20 мин; 3) за 1 ч; 4) за 2 ч 10 мин; 5) за 5 ч 12 мин.

906. На какой угол надо повернуть минутную стрелку, чтобы перевести часы назад:
1) на 10 мин; 2) на 1 ч 12 мин; 3) на 2 ч 40 мин?

907. Часы отстали на 18 мин. На какой угол надо повернуть минутную стрелку, чтобы часы показывали верное время?

908. Ведро  в колодце поднимается на 2 м, если рукоятку ворота повернуть на 5 полных оборотов по часовой стрелке. На какой угол надо повернуть рукоятку ворота, чтобы ведро 1) поднялось на 1,5 м; 2) опустилось на 1,25 м?

909. Два зацепляющихся зубчатых колеса имеют: одно — 24 зубца, а другое — 30 зубцов. Меньшее колесо (ведущее) приводит во вращательное движение большее колесо (ведомое). На какой угол должно повернуться ведущее колесо, чтобы ведомое повернулось на 2 полных оборота против часовой стрелки?

910. Вектор OA^>, повернувшись вокруг точки О, образовал с начальным своим положением угол АОМ, равный 120°. Какой величины достигнет угол АОМ, если:
1) вектор, продолжая вращение в том же направлении (рис. 34), опишет: а) еще 1 полный оборот; б) 2 полных оборота; в) k полных оборотов;
2) вектор от положения ОМ (рис. 35) опишет в обратном направлении: а) 1 полный оборот; б) 2 полных оборота; в) k полных оборотов?

911. 1) Назвать несколько положительных и отрицательных углов, сторонами которых являются соответственно начальная и конечная стороны угла α  = 30°. Выразить формулой множество всех таких углов.
2) Выполнить то же задание, принимая угол α  равным 60°; —90°; 150°; —135°; 400°; 510°; —420°; —840°.

912. Составить общую формулу углов, начальной стороной которых является вектор
OA^> (рис. 36), а конечная сторона совпадает: 1) с вектором OB^>; 2) с вектором OC^>.

913. В окружность вписан правильный треугольник AВС (рис. 37). Составить общую формулу углов, начальной стороной которых является вектор OA^>, а конечная сторона совпадает: 1) с вектором OB^>; 2) с вектором OC^>.

914. По данному общему виду угла α  (k = 0; ±1; ±2; ...) найти его частные положительные значения, меньшие 360 :
1) α  = 15° + 120° • k;
2) α  = — 45° + 60° • k;
3) α  = — 30° + 180° • k;
4) α  = ±120° + 360° • k.

915. Из множества углов, выраженных формулой α = 30°(6k —1), где k = 0; ±1; ±2; .... выделить: 1) наименьший положительный угол; 2) наименьший по абсолютной величине угол.

916. Каждый из следующих углов представить в виде суммы 360° • k + α , где k — целое число и α  — неотрицательный угол, меньший 360°:
1) 450°; 2) 1100°; 3) —700°; 4) —90°; 5) 1440°; 6) —1760°.

917. Две точки А и В, находящиеся на противоположных концах диаметра окружности, начинают одновременно двигаться по окружности в одном направлении. Точка А в каждую минуту описывает дугу в 60°, точка В — дугу в 48°. Через сколько минут после начала движения произойдет первое, второе, k-e совпадение точек?

918. Две точки A и В, находящиеся на концах взаимно перпендикулярных диаметров окружности (рис. 38), начинают одновременно двигаться по окружности: точка А — в отрицательном направлении, описывая каждую минуту дугу в 20°, точка В — в положительном направлении, описывая каждую минуту дугу в 25°. Через сколько минут произойдет первое, второе, k-е совпадение точек?

ОТВЕТЫ