5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
§ 20. ЕДИНИЧНАЯ ОКРУЖНОСТЬ
948. Какое существует соотношение между длиной дуги единичной окружности и ее радианной мерой?
949. На единичной окружности построить точки, соответствующие числам: 0; 1; 2; 3; 4; 5; .... Могут ли какие-либо из этих точек совпасть? Почему?
950. Числа заданы формулой α = 1/2 • k, где k = 0; ±1; ±2; ....
Построить на числовой оси и на единичной окружности точки, соответствующие этим числам. Сколько таких точек будет на числовой оси и сколько на единичной окружности?
951. Отметить на единичной окружности и на числовой оси точки, соответствующие числам:
1) α = πk, k = 0; ±1, ±2, ...;
2) α = π/2 (2k + 1), k = 0; ± 1; ±2; ...;
3) α = πk/6 , k = 0; ±1; ±2; ... .
Сколько таких точек на числовой оси и сколько на единичной окружности?
952. Как расположатся на числовой оси и на единичной окружности точки, соответствующие числам:
1) а и — а; 2) а и а ± π; 3) а + π и а — π; 4) а и а + 2πk, k = 0; ±1; ±2; ...?
953. В чем состоит принципиальное различие между изображением чисел точками числовой оси и их изображением точками единичной окружности?
954. 1) Найти наименьшие неотрицательные числа, соответствующие точкам пересечения единичной окружности: а) с осями координат; б) с биссектрисами координатных углов.
2) В каждом случае написать общую формулу чисел, соответствующих указанным точкам единичной окружности.
955. Зная, что а есть одно из чисел, соответствующих данной точке единичной окружности, найти:
1) все числа, соответствующие данной точке;
2) все числа, соответствующие точке единичной окружности, симметричной данной:
а) относительно оси абсцисс; б) относительно оси ординат; в) относительно начала координат.
Решить задачу, принимая а = 0; π/2 ; 1 ; 2 ; π/6 ; — π/4 .
956. Найти условие, которому удовлетворяют числа а, соответствующие:
1) точкам 1-й четверти единичной окружности;
2) точкам 2-й четверти единичной окружности;
3) точкам 3-й четверти единичной окружности;
4) точкам 4-й четверти единичной окружности.
957. Вершина А правильного восьмиугольника ABCDEFKL, вписанного в единичную окружность, имеет координаты (1; 0) (рис. 39).
1) Определить координаты остальных вершин восьмиугольника.
2) Составить общую формулу дуг единичной окружности, оканчивающихся:
а) в точках А, С, Е и K; б) в точках В, D, F и L; в) в точках А, В, С, D, E, F, K и L.
958. 1) На единичной окружности построить точку, ордината у которой равна 0,5. Сколько точек единичной окружности имеют данную ординату? Как расположены эти точки относительно оси ординат.
2) Измерить транспортиром (с точностью до 1°) наименьшую по абсолютной величине дугу, конец которой имеет ординату, равную 0,5, и составить общую формулу дуг единичной окружности, оканчивающихся в точках с ординатой 0,5.
959. Решить задачу 958, принимая ординату у равной:
1) — 0,5; 2) 0 4; 3) 0,5√3.
960. 1) На единичной окружности построить точку, абсцисса которой равна 0,5. Сколько точек единичной окружности имеют данную абсциссу? Как расположены эти точки относительно оси абсцисс?
2) Измерить транспортиром (с точностью до 1°) наименьшую положительную дугу, конец которой имеет абсциссу, равную 0,5, и составить общую формулу дуг единичной окружности, оканчивающихся в точках с абсциссой 0,5.
961. Решить задачу 960, принимая абсциссу х равной:
1) — 2/3; 2) 0,4; 3) 0,5√2.
962. Определить координаты концов дуг единичной окружности, заданных формулой (k = 0; ±1; ±2; ...):
1) α = 30°(2k+ 1); 2) α = πk/3.
963. Выразить одной формулой следующие серии углов (k = 0; ±1; ±2; ...):
1) α1 = 180° • k + 120° и α2 = 180° • k + 30°;
2) α1 = πk + π/6 и α2 = πk — π/3;
3) α1 = 90° • k и α2 = 45° (2k + 1);
4) α1 = πk и α2 = π/3 (3k ± 1);
5) α1 = 120° • k ± 15° и α2 = 120° • k ± 45°;
6) α1 = πk; α2 = 2πk ± π/3 и α3 = 2лk ± 2π/3;
7) α1 = 180° • k + 140°; α2 = 180° • k + 80° и α3 = 180° k + 20°;
8) α1 = 180° • k + (—1)k • 60° и α2 = 180° • k — (—1)k • 60°.
964. Исключить повторяющиеся углы в следующих формулах (k = 0-±1; ±2; ...):
1) α1 = 90° • k и α2 = 60° • k + 30°;
2) α1 = πk/2 и α2 = πk/5;
3) α1 = 1/4 πk и α2 = 1/2 πk ± 1/4 π;
4) α1 = π (2k + 1) — π/6 и α2 = 2/5 πk + 1/30 π;
5) α1 = 72° • k + 36° и α2 = 120° • k + 60°.
ОТВЕТЫ
