5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА

§ 21. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА

Определение тригонометрических функций любого угла

965. Дать общие определения синуса и косинуса угла между вектором и данной осью и показать, что известные из курса элементарной геометрии определения синуса и косинуса острого угла являются частными случаями общих определений.

966. OM^> = е — единичный вектор, образующий с осью ОХ угол α (рис. 40).

1) Какая существует связь между координатами вектора е и значениями синуса и косинуса угла α?

2) При каких положениях вектора е на плоскости имеет место соотношение
sin α = cos α? Составить общую формулу тех углов α, для которых sin α = cos α.

Лабораторная работа №3

1) На лист плотного картона наклеить круг радиуса R = 10 см, вырезанный из миллиметровой бумаги. На окружности этого круга нанести две шкалы: градусную (с делениями в 1°) и радианную (с делениями в 0,1 рад). В центре круга укрепить прочную нить
(рис. 41).

2) Пользуясь изготовленным пособием, найти приближенные значения синуса и косинуса углов в 30°; 120°; 135°; 180°; 240°; 325°; —55°; —160°; —270°; —330°; 400°; 1000°; 2,5 рад; 4,1 рад; 5,8 рад; ^π/₃ рад; — ^5π/₄ рад.

3) Найти по модели:
a) sin α, если cos α ≈ — 0,43,          π < α < ³/₂ π;
б) cos α, если sin α ≈ — 0,90,      ³/₂ π < α < 2π .

967. Вектор а = { х, у } образует с осью абсцисс угол α. Найти значения sin α и cos α, если:
1) х = 6;  у = 8;             2) х = 15; у = —8;
3) х = —3,3;  у = 5,6;   4) x = —0,6; у = — 0,11;
5) х = 0;  у = 2;             6) х = 3;  у = 0.

968. Может ли синус или косинус угла принимать значения, по абсолютной величине большие единицы? Почему?

969. Что больше:
1) sin 20° или sin 20° • sin 40°;
2) sin 50° или (sin 50°)²;
3) cos 115° или cos 115° • cos 20°?

970.  Возможно ли равенство:
1) sin α = —⁴√1,7;      2) cos α = — ⁵√5;  
3) cos α = √3—2;       4) sin α = √2— 1 
5) cos α = ³√28 — √10?

971. AM = α — произвольная дуга единичной окружности; ATи BK - отрезки касательных, проведенных к этой окружности соответственно из точек ее пересечения с положительными полуосями координат до встречи с продолжением вектора OM^> 
(рис. 42 и 43).

1) Показать, что:
а) значение tg α равно проекции вектора AT^>на ось ординат;
б) значение ctg α равно проекции вектора BK^> на ось абсцисс.

2) При каких положениях точки М на единичной окружности:
а) tga не существует (составить общую формулу тех дуг а, тангенс которых не существует);
б) ctg α не существует (составить общую формулу тех дуг α, котангенс которых не существует)?

972. По определению известно, что tg α = ^{sin α}/_{cos α}. Если tg α = ²/₃, то можно ли заключить отсюда, что sin α = 2, а cos α = 3?

973. α — произвольный угол. Может ли значение tg α по абсолютной величине быть меньше, чем значение sin α? Почему?

974. Что больше: 1) sin 25° или tg 25°; 2) sin 320° или tg 320°?

975. Доказать неравенство | cos α  | < | ctg α  |. При каких значениях α  имеет место знак равенства?

976. Что больше: 1) cos 75° или ctg 75°; 2) cos 160° или ctg 160°?

977. Возможно ли равенство tg α  = ctg α ? Составить общую формулу углов α , удовлетворяющих этому равенству.

978. Как принято понимать запись:

1) sin²α; 2) sin 2α; 3) cos^α/₂; 4) tg (30° + α);

5) sin 1; 6) ctg 0,2; 7) tg (— ¹/₂ ); 8) sin (cos 2)?

979. Что больше: 1) sin 1 или tg 1; 2) cos 1 или ctg 1?

980. Определить знак разности:

1) sin 1,2 — tg l,2; 2) cos 0,5 — ctg 0,5.

981. a — радианная мера угла, 0 < a < ^π/₂. Какое из чисел является большим:

1) sin a или a; 2) tg a или a?

982. Пользуясь таблицей натуральных значений тригонометрических функций, найти:

1) sin 1;   2) cosl;   3) tg 1;   4) ctg 1;   5) sin 0,2;   6) cos ³/₄;
7) tg 1,48;   8) ctg ^π/₁₈;   9) sin ^3π/₅   10) cos ^5π/₁₂

983. Найти с точностью до 0,01 значение выражения a — sin a при:

1) а = 0,1; 2) а = 0,3; 3) а = 0,5; 4) а = 0,7; 5) а = 0,9.

984. Найти по таблицам:

1) sin (cos l); 2) cos (sin 1); 3) ctg (cos 0,3); 4) tg (sin 0,5); 5) sin (ctg l); 6) ctg (tg 0,6).

ОТВЕТЫ