5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
§ 21. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
Значения тригонометрических функций некоторых углов
991. Исходя из определения тригонометрических функций, вычислить значение синуса, косинуса, тангенса следующих углов:
0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 120°; 135°; 150°; 180°;
210°; 225°; 240°; 270°; 300°; 315°; 330°; 360°.
Результаты вычислений занести в таблицу.
992. Существует ли такой угол, для которого:
1) синус и косинус (одновременно) принимают значение, равное единице; равное нулю;
2) тангенс и котангенс (одновременно) принимают значения, по абсолютной величине меньшие единицы?
993. Что больше:
1) sin 20° или sin 20° • tg 40°;
2) cos 42° или cos42°. tg48°;
3) √3 tg α или tg2α (0 < α < π/2)?
Упростить выражения:
994. 1) 2 cos 0° + 3 sin 90° + 4 tg 180°;
2) 5 sin 270° — 2 cos 0° + 3 ctg 90°;
3) a • sin π + b • cos π + с • tg π;
4) m cos90° — n cos 180° + p sin 270° +.q tg 360°;
5) 2 tg 0° + 8 cos 270° — 6 sin 90°.
995. 1) tg45° • sin 60° • ctg 30°;
2) cos π/3+ 2sin π/6 + 1/2 tg2 π/3— ctg π/4;
3) ctg 225° — cos 240° — sin2120° + 0,75 tg2 210°;
4) 3/2 ctg 5π/3 + tg 7π/4 + 3/4 ctg2 4π/3 + cos2 11π/6 + sin 2π/3
996. 1) m2 tg 225° — 4 mn sin 210° + 3n2 tg2 30°;
2) a3 tg π/4 + a2b tg2 4π/3 + 9ab2 ctg2 π/3 + 2b3 cos 5π/3;
3) 2 cos2 315° + 3p ctg 135° + p2 tg2 300° — 2p3 sin2 225°.
997. Найти числовые значения следующих выражений:
1) sin α + cos α при: а) α = 0°; б) α = 90°; в) α = 180°; г) α = 3π/2;
2) sin (α + 45°) + 2 sin (α — 45°) + 4 cos 2α + 2 cos (α + 135°) при: а) α = 45°; 6) α = 135°;
3) sin α — cos 2α — cos 3α + sin 2α при: а) α = 30°; 6) α = π/4 ; в) α = 60°.
998. Вектор a образует с осью l угол α. Найти проекцию этого вектора на данную ось, если:
1) | а | = 6; α = 60°; 2) | а | = √2; α = 45°;
3) | а | = 0,9; α = 90°; 4) | а | = 1,2; α = 120°.
999. Определить длину вектора а, зная проекцию х этого вектора, на ось абсцисс и угол α между вектором и данной осью:
1) х = √3, α = 30°; 2) х = —0,5; α = 180°;
3) х = 2,5, α = 300°; 4) х = — 7, α = 240°.
1000. 1) Доказать, что всякая хорда единичной окружности равна удвоенному синусу половины центрального угла, соответствующего хорде.
2) Используя доказанное утверждение, найти значения тригонометрических функций углов в 30°; 45° и 60°.
1001. Зная, что сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна 
, определить sin 18°.
1002. Проверить неравенства, заменив тригонометрические функции их значениями:
1) sin 30° + cos 45° > 1; 2) sin π/6 + sin π/3 > 1.
1003. Проверить равенство:
cos 30° • tg 60° — 1 = ctg2 60° ( l + sin2 315°).
1004. При каких значениях α в интервале [0; 2π]:
1) sin α обращается в нуль;
2) tg α принимает значение, равное 1;
3) cos α принимает свое наименьшее значение? ;
1005. 1) При каких значениях α в интервале (0; π/2) разность 0,5√3 — cos α:
a) положительна; б) отрицательна; в) равна нулю?
2) При каких значениях α в интервале (0; π) разность sin α — 0,5√2:
а) положительна; б) отрицательна; в) равна нулю?
1006. При каких значениях α в интервале (π/2 ; π) сумма √3 + tg α :
1) положительна; 2) отрицательна; 3) равна нулю?
1007. При каких значениях α в интервале: [0; π/2 ] выражение √0,5— sin α имеет действительные значения?
1008. Найти все значения х в интервале (0; 2π), удовлетворяющие неравенству:
1) sin x + 1/2 < 0; 2) 2 cos x + 1 > 0;
3) √3 tg x — 1< 0; 4) ctg x + 1 > 0;
5) | sin x | > √2/2; 6) | 2cos x — 1/2 | > 1/2
1009. Определить знак разности:
1) cos (3 tg2 π/6) — ctg 1; 2) tg ( sin 5π/6 ) — sin ( 1/2 tg 5π/4).
1010. Найти (по таблицам):
1) sin (cos 5π/3); 2) cos (sin 7π/6);
3) tg (sin2 3π/4); 4) sin ( l,2 ctg2 2π/3 ).
ОТВЕТЫ
