5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
§ 21. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
Построение угла по данному значению его тригонометрической функции.
Главные углы. Простейшие тригонометрические уравнения
1028. 1) Построить угол α , если cos α = 1/2. Сколько таких углов содержится в интервале (0; 2π); в интервале (0; π).
2) Измерить транспортиром величину наименьшего положительного угла α и составить общую формулу всех углов, косинус которых равен 1/2.
3) Выполнить задания 1) и 2), принимая cos α равным:
а) — 1/2 ; б) 0,4; в) —0,4; г) 1/3 ; д) —2/3 ; е) —0,6.
1029. Как прочитать символ arccos m? При каких значениях т имеет смысл это выражение?
1030. В какой четверти единичной окружности оканчивается дуга arccos т, если:
1) 0 < т < 1; 2) — 1 < т < 0?
1031. Построить дуги: 1) arccos 0,75; 2) arccos (—2/3 ).
1032. Доказать геометрически соотношение
arccos (—т) = π — arccos т, | т | < 1.
1033. Найти:
1) arccos 0,5; 2) arccos 0; 3) arccos 1;
4) arccos ( — 1/2), 5) arccos (—1); 6) arccos (—√3/2).
1034. Пользуясь таблицами, найти в градусах и радианах:
1) arccos 0,7660; 2) arccos 0,8599;
3) arccos 0,2588; 4) arccos (—0,4384);
5) arccos(—0,2588); 6) arccos(—0,8910).
1035. Определить:
1) cos (arccos 1/3); 2) cos (arccos 0,45);
3) cos arccos (— 5/7); 4) cos (arccos m), |m| < l;
5) arccos (cos 2π/3) 6) arccos(cos 2π );
7) arccos (cos — 3/2 π ); 8) arccos (cos 3π ).
1036. Найти х из уравнений:
1) arccos x = π/3; 2) аrссоs 2x = 158°;
3) arccos x/2 = 3π/4; 4) arccos (x — 1) = π/2.
1037. Решить следующие простейшие тригонометрические уравнения:
1) cos x = 1/2; 2) cos x = — 0,5;
3) cos x = 0,5736 (по таблице);
4) cos x = — 0,9848 (по таблице).
При решении: а) определить главный угол (дугу), соответствующий заданной числовой величине косинуса; б) составить общую формулу углов (дуг), удовлетворяющих данному уравнению.
1038. Составить общую формулу углов х, удовлетворяющих уравнению
cos x = т , где | т |< 1. Привести геометрическое пояснение для случаев:
1) 0 < т < 1; 2) — 1 < т < 0.
1039. Решить уравнения:
1) cos 3x = — 0,5√3; 2) cos 2x = 0; 3) cos( x/2 + 10°) = √2/2;
4) cos(x —20°) = 1; 5) cos 3x = — 0,2588 (по таблице);
6) cos x/2 = — 0,9397 (по таблице).
1040*. Решить неравенства:
1) 2 cos ( x+ π/4 ) — √3 > 0; 2) | cos x | > 1/2;
3) cos2 2x + cos 2x > 2; 4) cos (cos x) > 0.
1041. 1) Построить угол α, если sin α = 1/2. Сколько таких углов содержится в интерзале (0; 2π ); в интервале ( — π/2 ; π/2 )?
2) Измерить транспортиром наименьший по абсолютной величине угол α и составить общую формулу всех углов, синус которых равен 1/2.
3) Выполнить задания 1) и 2), принимая sin α равным:
а) — 1/2; б) 1/3; в) 1; г) — 0,8.
1042. 1) Как прочитать символ arcsin m? При каких значениях т имеет смысл это выражение?
2) В какой четверти единичной окружности оканчивается дуга arcsin т, если:
а) 0< m < 1; б) —1 < т < 0?
1043. Построить дуги: 1) arcsin 2/5 ; 2) arcsin (—0,6).
1044. Доказать геометрически соотношение
arcsin (—т) = — arcsin т, | т |< 1.
1045. Найти:
1) arcsin 1/2 ; 2) arcsin (—0,5); 3) arcsin 1;
4) arcsin (—1); 5) arcsin 0; 6) arcsin (—√2/2).
1046. Пользуясь таблицами, найти в градусах и радианах:
1) arcsin 0,6820; 2) arcsin 0,8829;
3) arcsin 0,4226; 4) arcsin (— 0,3420);
5) arcsin (—0,8415); 6) arcsin (—0,7660).
1047. Определить:
1) sin (arcsin 2/9 ); 2) sin [arcsin (—0,68)];
3) sin (arcsin m), | m | < l; 4) arcsin (sin π/3);
5) arcsin (sin 0); 6) arcsin (sin π); 7) arcsin [sin (—0,75π)].
1048. Найти х из уравнений:
1) arcsin х = 20°; 2) arcsin 2x = — π/6;
3) arcsin x/2 = — 47°; 4) arcsin (1 — x) = 0.
1049. Решить простейшие тригонометрические уравнения.
При решении: а) определить главный угол, соответствующий заданной числовой величине синуса;
б) составить общую формулу углов, удовлетворяющих данному уравнению:
1) sin x = 1/2; 2) sin x = —√3/2;
3) sin x = 0,4848 (по таблице);
4) sin x = — 0,9511 (по таблице).
1050. Составить общую формулу углов, удовлетворяющих уравнению
sin x = т, где | т | < 1.
Привести геометрическую иллюстрацию для случаев: 1) 0 < т < 1; 2) — 1 < т < 0.
1051. Решить уравнения:
1) sin (х — π/6) = 0; 2) sin 3х = — 1;
3) sin ( x/2+ π/6 ) = √3/2; 4) sin (5x— π/4) = l;
5) sin 2x = —0,7524 (по таблице);
6) sin (x + 18°) = 0,7431 (по таблице).
1052. Решить неравенства:
1) | sin ( x/2+ π/3 ) | > 1/2; 2) 2sin2 x < 3sin x + 2;
3) √3 — 2 sin πx < sin πx; 4) sin (cos x) < 0.
1053. 1) Построить угол α , если tg α = 1,5. Сколько таких углов содержится в интервале (0; 2π); в интервале (— π/2; π/2)?
2) Измерить транспортиром наименьший по абсолютной величине угол α и составить общую формулу всех углов, тангенс которых равен 1,5.
3) Выполнить задания 1) и 2), принимая tg α равным: а) —1; б) 3/4; в) 2; г) —0,6.
1054. 1) Как прочитать символ arctg m? При каких значениях т имеет смысл это выражение?
2) В какой четверти единичной окружности оканчивается дуга arctg m, если:
а) т > 0; б) т < 0?
1055. Построить дуги: 1) arctg 4/3 ; 2) arctg (—0,4).
1056. Доказать геометрически соотношение
arctg (— т) = — arctg m
1057. Найти:
1) arctg 1; 2) arctg (—1); 3) arctg 0;
4) arctg( —√3 ); 5) arctg √3/3; 6) arctg (— 1) + π/4,
1058. Пользуясь таблицами, найти в градусах и радианах:
1) arctg 3,655; 2) arctg (—1,0724); 3) arctg(—14,30);
4) arctg 0,6009; 5) arctg 0,6420; 6) arctg (—2,050).
1059. Определить:
1) tg (arctg 3, 1); 2) tg [arctg (—3/4)]; 3) tg(arctg m); 4) arctg (tg π/4);
5) arctg (tg 1,25π); 6) arctg (tg π); 7) arctg [sin(—0,5π)].
1060. Найти х из уравнений:
1) arctg x = π/4; 2) arctg 0,5x = —π/4;
3) arctg 5x = — 64°; 4) arctg (x + 1) = 0.
1061. Решить простейшие тригонометрические уравнения:
1) tg x= 1; 2) tg ( x + π/4 ) = —1;
3) tg ( x — 17°) = 0,4245 (по таблице);
4) tg 3x = — 3,230 (по таблице).
При решении: а) определить главный угол, соответствующий заданной числовой величине тангенса;
б) составить общую формулу углов, удовлетворяющих данному уравнению.
1062. Составить общую формулу углов, удовлетворяющих уравнению tg x = m. Привести геометрическое пояснение для случаев: 1) т > 0; 2) т < 0.
1063. Решить уравнения:
1) tg x = 0; 2) tg 2x = 1; 3) tg( x/2 — 25°) = — 1;
4) tg ( x + π/3 ) = √3 ; 5) tg ( x—π/3 )= —√3 ;
6) tg (π/3 — x ) = √3/3; 7) tg 2x = ±1.
1064*. Решить неравенства:
1) tg 3x < 1; 2) tg2 x— 1 > 0; 3) 7tg2 x — 8 tg x + 1 < 0; 4) sin x > cos x.
1065. 1) Построить угол α, если ctg α = 2. Сколько таких углов содержится в интервале (0; 2π); в интервале (0; π)?
2) Измерить транспортиром величину наименьшего положительного угла α и составить общую формулу углов, котангенс которых равен 2.
3) Выполнить задания 1) и 2), принимая ctg α равным: а) —2; б) 1; в) 0,8; г) — 2/3.
1066. 1) Как прочитать символ arcctg m? При каких значениях т имеет смысл это выражение?
2) В какой четверти единичной окружности оканчивается дуга arcctg т, если:
а) т > 0; б) т < 0?
1067. Построить дуги: 1) arcctg 2/5; 2) arcctg (—1,5).
1068. Доказать геометрически соотношение
arcctg (—т) = π — arcctg т.
1069. Найти:
1) arcctg 1; 2) arcctg (—1); 3) arcctg 0;
4) arcctg √3; 5) arcctg (— √3/3); 6) arcctg (—1) + π.
1070. Пользуясь таблицами, найти в градусах и радианах:
1) arcctg 0,0840; 2) arcctg (—3,006); 3) arcctg (—0,4348)
4) arcctg (—14,30); 5) arcctg 0,7212; 6) arcctg (—25,26).
1071. Определить:
1) ctg (arcctg 2,5); 2) ctg [arcctg (—0,2)];
3) ctg (arcctg m); 4) arcctg (ctg 5π/6);
5) arcctg [ctg (— π/3)]; 6) arcctg (sin π/2);
7) arcctg (соs 3π).
1072. Найти х из уравнений (по таблице):
1) arcctg x = π/18; 2) arcctg x = 146°;
3) arcctg (x — 1) = 14°; 4) arcctg 0,2x = 176°.
1073. Решить следующие простейшие тригонометрические уравнения:
1) ctg x =1; 2) ctg ( x—π/4 ) = —1;
3) ctg 3x = 0; 4) ctg (x + 42°) = —11,43 (по таблице).
При решении: а) определить главный угол, соответствующий заданной числовой величине котангенса;
б) составить общую формулу углов, удовлетворяющих данному уравнению.
1074. Составить общую формулу углов, удовлетворяющих уравнению ctg x = m. Привести геометрические пояснения для случаев: 1) т > 0; 2) т < 0.
1075. Решить уравнения:
1) ctg 0,5x = 1; 2) ctg 3x = 0;
3) ctg (2x — 15°) = — 1; 4) ctg ( x—π/4 ) = √3 .
1076. Решить неравенства:
1) ctg ( x—π/4 ) >1; 2) | sin x| + cos x < 0;
3) | sin x | > ctg x, 0 < x < 2π.
1077. Какие из главных углов (дуг) — arccos m, arcsin m, arctg m, arcctg m — и при каких значениях т могут принимать: а) отрицательные значения; б) значения, большие π/2?
1078. Почему главный угол (дуга) при заданном значении синуса выбирается на интервале [— π/2; π/2 ], а при заданном значении косинуса на интервале [0; π]?
1079. Известно, что 0 < arccos т < π и 0 < arcctg т < π. Почему arccos m может принимать значения 0 и π, a arcctg m таких значений принимать не может?
1080. Известно, что sin 5π/6 = 0,5. Можно ли на основании этого написать, что
arcsin 0,5 = 5π/6?
1081. Представить х как функцию от у:
1) у = arcsin x/2; 2) у = 2 arctg x/2; 3) у = 5 arccos 3х;
4) у — 1 = 3 arccos x/2; 5) 2у = 3 arcctg 2/x.
1082. Найти:
1) 2 arcsin √2/2; 2) 3arctg 1;
3) arcctg 0 + 1/3 arctg √3 ; 4) 0,2 arccos (— 1) — arcsin 0,5.
1083. Найти числовое значение выражения х + arcsin х при:
1) х = 0; 2) х = 1/2; 3) х = 0,5√2; 4) х = 0,5√3; 5) х = 1.
1084. Пользуясь таблицами, найти с точностью до 0,001 числовое значение выражения arctg x + arcctg 3x при:
1) х = 0,1; 2) х = 1; 3) х = 1/3; 4) x = — 1/√3; 5) х = — 0,5; 6) х = — 1.
ОТВЕТЫ
