5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА

§ 22. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Построение синусоиды. Свойства синуса

1085. 1) Используя модель, описанную в лабораторной работе №3, найти приближенные значения (до 0,01) функции у = sin х при х = 0; π/12  (≈ 0,26); π/6  (≈ 0,52);π/4  (≈ 0,78); ... ; 2π  (≈ 6,28). Полученные результаты занести в следующую таблицу.

2) Пользуясь данными таблицы, построить график функции у = sin х (за масштабную единицу на обеих осях принять отрезок, равный 1 см).

3) Найти по графику значения (с точностью до 0,1):
а) sin 1; sin 0,8; sin √2 ; sin 2,6; sin 0,64;
б) arcsin 0,48; arcsin (— 0,26); arcsin 0,16; arcsin 1,2; arcsin(— 0,84).

1086. На рисунке 44 дан геометрический способ построения графика функции у = sin х (синусоиды) на интервале [0; 2π]. Пользуясь этим рисунком, ответить на следующие вопросы:

1) Какая точка единичной окружности симметрична точке М4 относительно: а) вертикального диаметра; б) горизонтального диаметра?

2) Какие точки оси абсцисс соответствуют точкам M4, М8, М16 и M20 единичной окружности?

3) Относительно каких точек оси абсцисс симметричны между собой точки N4 и N8; точки N16 и N20? В чем причина симметрии этих точек?

4) Показать, что: а) точки K4 и K8 графика функции симметричны между собой относительно прямой х = π/2 , и указать несколько осей симметрии синусоиды;
б) точки K4 и K20 графика симметричны между собой относительно точки (π, 0), и указать несколько центров симметрии синусоиды. Какие обобщения можно сделать относительно осевой и центральной симметрии графика функции у = sin х? Как можно использовать осевую и центральную симметрию синусоиды при ее построении?

5) Как получить график функции у = sin x: а) на интервале [—2π; 0]; б) при дальнейшем возрастании аргумента по абсолютной величине?

1087. Построить схематически синусоиду на интервале [—3π; 3π].
При построении: 1) отметить на оси абсцисс точки (πn/2;0), приняв за масштабную единицу отрезок в 1 см;
2) через точки (0; 1) и (0; —1) провести пунктиром прямые, параллельные оси абсцисс;
3) отметить точки синусоиды с абсциссами πn/2;  
4) вычертить (от руки) синусоиду.

1088. Пользуясь схематическим графиком функции у = sin x (задача 1087), выполнить следующие упражнения:
1) Указать на оси абсцисс интервалы, соответствующие:
а) 1-й, 2-й, 3-й и 4-й четвертям окружности;
б) правой, левой, верхней и нижней полуокружностям. Как изменяется функция
у = sin х на каждом из этих интервалов?

2) Проиллюстрировать на графике, что:
а) функция у = sin х не может принимать значений, по абсолютной величине превосходящих единицу, т. е. —1 < sin x < 1.
б) Каждому действительному значению аргумента соответствует только одно значение функции у = sin х ( свойство однозначности синуса).
в) При замене произвольного значения аргумента х противоположным ему значением — х значение функции у заменяется противоположным ему значением — у,
т. е. sin (—х) = — sin x (свойство нечетности синуса). Показать справедливость этого свойства, пользуясь единичной окружностью. Как можно использовать свойство нечетности синуса при построении его графика?
г) При изменении произвольного значения аргумента х на число, кратное числу 2π, значение функции не изменяется, т. е. sin (x + 2πk) = sin x (свойство периодичности синуса). Проиллюстрировать свойство периодичности синуса на единичной окружности. Как можно использовать периодичность синуса при построении его графика?
д) При изменении произвольного значения аргумента х на число π значение функции у заменяется противоположным ему значением — у, т. е. sin (х + π) = — sin x (свойство полупериода синуса). Подтвердить это свойство на единичной окружности.
е) Уравнение sin х = —0,5 имеет бесчисленное множество решений. Назвать несколько частных решений этого уравнения.

3) Указать интервалы, в которых функция у = sin x принимает положительные значения и в каких отрицательные значения. Какие четверти единичной окружности соответствуют этим интервалам?

4) Выделить на оси абсцисс и на единичной окружности интервалы, в которых функция у = sin x: а) возрастает; б) убывает. Проиллюстрировать на графике, что в любом промежутке монотонности функция синуса последовательно принимает все свои возможные значения, каждому из которых соответствует только одно значение аргумента в рассматриваемом интервале.

1089. Пользуясь графиком функции у = sin x (рис. 45), ответить устно на следующие вопросы.
1) Как изменяется sin x при изменении аргумента х: а) от π/2 до /2; б) от 540° до 720°; в) от 90° до — 90°; г) от — π до π; д) от 0 до —2π?

2) Можно ли сказать, что функция sin x есть возрастающая функция на интервале:
а) [ — π/2 ; π/2 ];  б) [ — /2 ; — π/2 ]; в) [— π/2 ; /2 ] ?

3) Если угол (дуга) содержит а рад, то сколько значений имеет синус этого угла (дуги)? Как найти значение sin а по графику?

4) Чему равен синус числа: а) 1,5π;   б) — π;   в) —1,5π;   г) 2,5π?

5) Что больше: a) sin 0,5 или sin 1;  б) sin (—0,2) или sin (— π/6);
     в) sin 2 или sin 3;   г) sin (π — 1) или sin 1?

6) Назвать несколько отрицательных значений аргумента х, для которых синус равен:
а) 0,5;   б) — 0,5;   в) 0.

7) Указать интервалы, в которых: a) sin х > 1/2; б) | sin х | < 1/2.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz