5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
§ 22. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Простейшие преобразования синусоиды
1090. Дана функция у = 2 sin x.
1) Используя таблицу значений функции у = sin x на интервале [0; 2π] (задача 1085), составить таблицу значений данной функции у = 2 sin x для тех же значений аргумента.
2) Построить график функции у = 2 sin x на интервале [0; 2π].
3) Имеет ли график данной функции осевую или центральную симметрию? Как продолжить график функции у = 2 sin x на интервале [—2π; 0]?
4) Чем отличается график данной функции от графика функции у = sin x?
1091. Дана функция у = 0,5 sin x.
1) Найти области определения и изменения функции и ее период.
2) Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
3) Определить, при каких значениях аргумента х данная функция:
а) положительна; б) отрицательна; в) обращается в нуль; г) достигает наибольшего и наименьшего значений и каких именно.
4) Указать интервалы возрастания и убывания функции.
5) Исходя из свойств функции, построить (схематически) ее график и объяснить, как при построении графика можно использовать свойство нечетности (четности) функции и ее периодичность.
6) Путем сопоставления графика данной функции с графиком функции у = sin х выяснить, каким преобразованиям (сдвиг, растяжение) надо подвергнуть обыкновенную синусоиду, чтобы получить график функции у = 0,5 sin х.
1092. Выполнить аналогичные упражнения (задача 1091) относительно следующих функций:
1) y = — sin x; 2) y = sin x + 1;
3) y = sin x —2; 4) у = sin 2x,
5) у = sin x/2; 6) у = sin (x — 60°); 7) у = sin (x + π/2).
1093*. Определить вид и положение относительно координатных осей графиков следующих функций:
1) у = sin х + b, если: а) b > 0; б) b < 0;
2) у = a sin x, если: а) | а | > 1; б) | а |< 1; в) а < 0. Какой физический смысл имеет параметр а?
3) у = sin mx, если: а) | т | > 1; б). | т |< 1; в) m < 0. Какой физический смысл имеет параметр т?
4) у = sin (х + n), если а) п > 0; б) п < 0. Какои физический смысл имеет параметр п?
1094. Построить график функции: 1) у = |sin x | ; 2) у = sin | х |. Чем отличаются графики этих функций от графика функции у = sin x?
1095. Дана функция у = sin 2x + 1. He вычерчивая графика, этой функции
1) описать вид и положение кривой относительно координатных осей;
2) выяснить, имеет ли кривая ось или центр симметрии;
3) найти наименьший положительный период l функции;
4) установить знак функции и характер ее изменения при возрастании аргумента х от 0 до l;
5) определить, при каких значениях аргумента х данная функция принимает наибольшее и наименьшее значения и
каковы эти значения функции.
1096. Выполнить аналогичные упражнения (задача 1095) относительно функций:
1) y = sin ( x + π/4 ); 2) y = 2 sin x/2 —1; 3) y = — sin| x |.
Лабораторная работа №4
I. Из плотного картона изготовить шаблоны для вычерчивания графиков функций:
а) у = sin х; б) у = 2 sin x; в) у = 0,5 sin х; г) у = sin 2x; д) у = sin x/2.
За масштабную единицу в каждом случае принять отрезок, равный 1 см
(рис. 46, а, б, в, г, д).
II. Пользуясь изготовленными шаблонами, построить графики функций:
а) у = sin х + 1; б) у = 1 — sin х; в) у = sin (х + π/2 );
г) у = sin (х — π/4); д) у = — sin 2х; е) у = 2 (1 — sin x);
ж) у = 0,5 sin ( х + π/2 ]; з) у = 1 — sin x/2;
и) у = 0,5 sin (х + 1) — 2; к) у = arcsin x, —1 < х < 1.
III. 1) Вычертить на миллиметровой бумаге график функции у = sin х (за масштабную единицу принять отрезок, равный 5 см).
2) Наложить на чертеж линейку так, чтобы определяемая ей прямая соответствовала графику функции у = π — 0,5х, и найти (с точностью до 0,01) корни уравнения
sin x = π — 0,5х.
3) При помощи графика у = sin x и линейки решить уравнения:
a) sin х = х; б) π sin х = х — π; в) sin ( х + π/2 ) = х; г) πx + sin ( 2х + π/2 ) = 0.
IV 1). Вычертить на отдельных листах кальки графики функций:
а) у = sin x; б) у = х2; в) у = х3; г) у = х0,5; д) у = х—1.
За масштабную единицу принять отрезок, равный 2 см.
2) Накладывая соответствующий шаблон на лист миллиметровой бумаги, расположить его так, чтобы в системе координат, вычерченных на миллиметровке, получить графики функций:
а) у = 1 + sin х; б) у = 2 — sin x;
в) у = sin (х + π/4 ); г) у = sin ( х + π/2 )
3) Наложив на график у = 1 + sin x шаблон 1,б) так, чтобы определяемая им кривая изображала в новой системе координат (на миллиметровке) график функции
у = (х — 1)2, найти (с точностью до 0,01) корни уравнения 1 + sin x = (х — 1)2.
4) Пользуясь шаблонами 1,а), 1,6), 1, в), 1, г) и 1, д), найти (с точностью до 0,01) корни уравнения:
a) sin х = х2; 6) 1/2 sin x = | х | — 1; в) 1 — sin 2х = x/2;
г) (х —3)2 — sin x/2 + 2 = 0; д) 2 sin x = 3 + х—1.
ОТВЕТЫ
