5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА
§ 24. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
1187. Дан вектор OM>= [х; у], образующий угол α с осью абсцисс (рис. 49).
1) Доказать, что при повороте этого вектора вокруг точки О на угол π/2 получается вектор OM 1>= {—у; х}, абсцисса которого равна ординате исходного вектора, взятой с противоположным знаком, а ордината равна абсциссе данного вектора.
2) Используя доказанное свойство, вывести формулы приведения для углов вида:
π/2 ± α; π ± α; 3π/2 ± α и 2π — α.
1188. 1) Построить график функции у = sin (π/2 — х) .
2) Сравнить полученный результат с графиком функции у = cos x и убедиться, что равенство sin (π/2 — х) = cos x является тождеством.
1189. С помощью графиков доказать тождество cos (π/2 — х) = sin х.
1190. Дать графическое истолкование тождествам:
1) tg (π/2 — х) = ctg x; 2) ctg (π/2 — х) = tg х .
1191. На одном и том же чертеже построить графики функций: у = sin х и у = cos x
(рис. 50).
Сопоставляя построенные графики, проиллюстрировать соотношения:
1) sin (π/4 — х) = cos (π/4 + х); 2) cos (π/4 — х) = sin (π/4 + х).
Следующие функции заменить функциями дополнительного аргумента:
1192. 1) cos 65°; 2) соs 0,7π; 3) cos (45° + α ); 4) cos (π/2 + 2α ).
1193. 1) sin 78°; 2)sin 0,6π; 3) sin (π/4 + α); 4) sin (60°— α /2).
1194. l) ctg 2π/5; 2)ctg (π/4 + α); 3) ctg(45° — α); 4) 
.
1195. 1) tg 55°; 2) tg 1/3 α ; 3) tg (π/4 + α); 4) tg(90°—2a).
1196. Сумма косинусов дополнительных аргументов равна т.
Найти: 1) сумму квадратов синусов этих аргументов;
2) произведение синусов этих аргументов.
1197. Дано: cos (45° + α) + cos (45° — α) = п.
Определить: 1) cos2(45° + α) + cos2(45° — α);
2) cos (45° + α) cos (45° — α).
1198. Дано: ctg (60° — 2α) + ctg (30° + 2α) = q.
Определить ctg2 (60° — 2α) + ctg2 (30° + 2α).
1199. Дано: tg (π/4 — α) + tg (π/4 + α) = p.
Определить tg2 (π/4 — α) + tg2 (π/4 + α)
1200. Вычислить:
1) tg 41° • tg 42° • tg 43° • ... • tg 49°;
2) ctg 5° • ctg 15° • ctg 25° • ... • ctg 75° • ctg 85°;
3) tg A • tg B, где А и В — острые углы прямоугольного треугольника;
4) (sin 10° + sin 20° + sin 30° + sin 40°) — (cos 50° + cos 60° + cos 70° + cos 80°).
1201. Путем сравнения графиков функций
а) cos (π + х) и — cos x; б) cos (π/2 + x) и — sin х проиллюстрировать следующие формулы приведения:
1) cos (π + х) = — cos х; 2) cos (π/2 + x) = — sin x.
1202. Дать графическое истолкование каждому из следующих тождеств:
1) sin (π + х) = — sin x; 2) cos (π — х) = — cos x;
3) ctg (π + х) = ctg x; 4) tg (π — х) = — tg x;
5) cos (π/2 + x) = — sin x; 6) tg (π/2 + x) = — ctg x;
7) sin (3π/2 + x) = cos x, 8) sin (3π/2 + x) = — cos x.
1203. Показать графически, что соотношение sin (3π/2 + x) = sin x не является тождеством. Написать общую формулу углов х, удовлетворяющих этому соотношению.
Доказать формулы.
1208. Вычислить:
1) cos 10π; 2) sin 7π; 3) sin 930°;
4) cos (—480°); 5) cos 15,5π; 6) sin ( — 7 5/6 π)
1209. Привести к функциям положительных углов, меньших 45 :
1) sin 78°; 2) cos 123°; 3) tg 174°; 4) sin 216°;
5) ctg 194°; 6) tg (—218°); 7) cos (—1961°); 8) sin 5000°;
9) tg 1,2π; 10) cos 8.
1210. Привести к функциям острых положительных углов, сохранив наименование приводимой функции:
1) sin 152°; 2) tg 345°; 3) cos 317°; 4) ctg (—213°);
5) sin (—592°); 6) sin 1,9π; 7) ctg 2; 8) sin 6.
1211. Привести к функциям острых положительных углов, изменив наименование функции на сходное:
1) tg 278°; 2) cos 400°; 3) ctg 424°; 4) sin 3108°;
5) cos (—969°); 6) ctg (—2814°); 7) sin (—2005°); 8) tg 10.
1212. Привести к наименьшему положительному аргументу:
1) cos 1501°; 2) sin (—824°); 3) tg (—700°); 4) ctg (—0,7π); 5) cos 6,5.
1213. Назвать несколько таких положительных и отрицательных углов, чтобы:
1) синус каждого из них был равен sin 23°;
2) косинус каждого из них был равен cos 68°?
3) тангенс каждого из них был равен tg 59°;
4) котангенс каждого из них был равен ctg 38°;
5) косинус каждого из них был равен sin 35°;
6) тангенс каждого из них был равен ctg 25°.
1214. Вычислить:
1) sin 540°; 2) sin 210°; 3) cos 330°; 4) cos (—855°);
5) tg 300°; 6) cos 240°; 7) tg 3810°; 8) ctg 2,5π;
9) cos 2 2/3 π; 10) sin 7 5/6 π.
1215. Найти по таблицам:
1) cos 1482°; 2) cos (—3301°); 3) sin 2128°; 4) tg (—5188°);
5) sin (—2005°); 6) ctg 10 000°; 7) tg 10,1; 8) sin 25.
Упростить выражения:
1216. 1) tg (360° — α ) + ctg (270° — α ) + tg (180° — α ) + ctg (90 — α );
2) sin (π/2 + α ) + cos (π + α ) + tg (3π/2 — α ) + ctg (2π — α ).
1217. 1) sin α — sin (α — 90°) — sin (α — 180°) — sin (α — 270°) — sin (α — 360°);
2) cos (α + 45°) + cos (α + 135°) + cos (α + 225°) + cos (α +315° ).
1218. 1) tg (45°—α ) • tg (45° + α ); 2) ctg (π/4 + α ) • ctg(π/4 — α ).
1219. 1) sin (90° + α ) • sin (180° — α ) • [tg (180° + α ) + tg (270°— α )];
2) sin (α — π/2 ) • sin (α + π/2) — sin2 (α — π) sin2 (α + π) — cos2 (α + π) • cos2 (α — 3π/2).
1220. 1) sin 20° • cos 70° + sin2110° • cos2 250° + sin2 290° • cos2340°;
2) (sin 75° + sin100°) • (sin 260° — sin 285°) + (sin 165° + sin 190°) (cos 75° — cos 100°)
1224. Вычислить сумму:
1) cos 20° + cos 40° + cos 60° + ... + cos160° + cos 180°;
2) tg 20° + tg 40° + tg 60° + ... + tg 160° + tg 180°;
3) sin 0° + sin 1° + sin 2° + ... + sin 359° + sin 360°;
4) ctg 15° + ctg 30° + ctg 45° + ... + ctg 165°.
Доказать тождества:
1225. 1) cos (45° + α ) = sin (45° — α ); 2) cos (45° — α ) = sin (45° + α )
1226. 1). ctg (45° + α) = tg (45° — α); 2) ctg (45° —α) = tg (45° + α).
1233. Вычислить:
1) cos (π/2 — arcsin 0,3); 2) cos (π + arccos 3/7);
3) sin (2π — arccos 5/13); 4) tg (2π — arcctg 0,5);
5) tg ( π/2 + arcsin 3/5); 6) cos ( 3π/2 — arctg 2,4 ).
1234. Определить cos x, если sin (x — π/2) + sin π/2 = sin ( x + π/2 )
1235. Косинус одного из углов равен —0,8. Найти синус, косинус и тангенс смежного ему угла.
Решить уравнения.
1236. cos (π — 0,5x) + cos (π + 0,5x) = 0.
1237. sin (45° — x) + cos (45° + x) = 1.
1238. tg (2x + π/4 ) — ctg (2x + 3π/4 ) = 2.
1239. tg (x—π/2) = ctg (x + π).
1240. 1) cos (π/2 — x) + cos (π + x) = 0;
2) sin (x — 90°) + sin (x — 180°) = 0.
1241. sin (x— π/2) + sin (x + 3π/2 ) = √2 .
1242. 2ctg (180° — x) — ctg 405° — ctg (360° — x) = 0.
1243. sin (30° + x) — sin (210° + x) = 2sin 495° .
1244. cos 600° + cos (x — 200°) + sin (x + 250°) = sin 870°.
1245. sin (x — 60°) = cos (x + 30°).
1246. sin ( π/4 — x) = 0,5 cos (π/4 + x )
1247. tg (202° + x) • cos 1020° = sin (—690°).
1248*. Найти наименьший положительный угол, удовлетворяющий уравнению
sin (cos x) = cos 5π/3 (по таблице).
1249*. Решить неравенства:
1) sin (π/4 + x) + cos (π/4—x) > 1;
2) cos x + cos (x + π ) + cos (x + 2π ) + ... + cos (x + 2пπ ) > √2/2;
3) sin πx + sin π (x +1) + sin π (x + 2) + ... + sin π (x +2n) < — 1/2.
ОТВЕТЫ
