6 ПРОГРЕССИИ
§ 26. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ .
1276. Лестница, ведущая на веранду, имеет 8 ступеней. Первая ступень — бетонная плита высотой 10 см; высота каждой из остальных ступенек 15см. Найти высоту 2-й, 3-й, 4-й ступени над землей. На какой высоте над землей находится пол веранды (рис. 52)?
1277. Какие из следующих последовательностей являются арифметическими прогрессиями:
1) 1; 4; 7; 10; 13; ... ; 2) 2; 4; 8; 16; 32; . .. ;
3) 3; 0; —3; —6; . . .; 4) 4; 9; 16; 25; ....
1278. Показать, что следующие числовые последовательности являются арифметическими прогрессиями:
1279. Какой зависимостью связаны между собой три последовательных члена арифметической прогрессии?
1280. Показать, что значения функции sin2 α от углов π/6 , π/4 , π/3 , образуют возрастающую арифметическую прогрессию.
1281. Показать, что значения функции cos2 α от углов π/6 , π/4 , π/3 , образуют убывающую арифметическую прогрессию.
1282. 1) Назвать прогрессию, состоящую из 5 членов, если ее первый член равен 11, а разность прогрессии равна —3.
2) Найти пятый член прогрессии: 3, 5, 7, ....
3) Найти шестой член прогрессии: а, —2а, —5а.....
1283. 1) Дано: а5 = 19; а9 = 35. Найти d.
2) Дано: а4 = — 13b; а10 = — 43b. Найти d.
3) Чему равна разность арифметической прогрессии, если а1 = 1/3 и а10 = 6 1/3 ?
1284. Как изменится разность прогрессии, если порядок ее членов переменить на обратный?
1285. Выписаны две арифметические прогрессии. Если из каждого члена первой прогрессии вычесть соответствующий член второй прогрессии, то получится ли снова арифметическая прогрессия?
1286. В арифметической прогрессии опущены четные по порядку члены. Образуют ли оставшиеся члены прогрессию?
1287. В какой арифметической прогрессии
а1 : а2 = а2 : а4?
1288. Вычислить последний член арифметической прогрессии, в которой:
1) а1 = 10; d = 4; п = 11;
2) а1 = 0; d = —2; п = 17;
3) а1 = 22,4; d = — 0,2; п = 100;
4) а1 = —3,6; d = 2/3 ; п = 13;
5) а1 = 9√3 — 2; d = 2— √3; n =12.
1289. Найти число членов арифметической прогрессии, если
а1 = 3 ; d = — 5; аn = —37.
1290. В арифметической прогрессии, содержащей 7 членов, последний член равен
3 5/6. Найти первый член прогрессии, если ее разность равна 3/4.
1291. 1) Дана прогрессия 2; 1,9; 1,8; 1,7; .... Начиная с какого номера ее члены будут отрицательные?
2) Какие номера имеют члены арифметической прогрессии 7; 10; 13; ..., большие 100, но меньшие 200?
1292. Найти сумму членов арифметической прогрессии, зная, что:
1) а1 = 3; аn = 39; n =11;
2) а1 = —0,2; аn = —18,4; п = 15;
3) а1 = 5 5/8; аn = —3 5/6; п = 36;
1293. Используя рисунок 53, проиллюстрировать формулу
— суммы всех членов арифметической прогрессии.
1294. Вычислить сумму п членов арифметической прогрессии, в которой:
1) а1 = 1; d = 2; n = 11;
2) а1 = 2/3; d = 3/4; n =17;
3) а1 = — 1 1/2; d = — 3 3/4; n = 21;
4) а1 = 0,2; d = 0,(3); n = 13;
1295.1) Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 200.
2) Найти сумму первых п четных чисел.
3) Найти сумму первых п нечетных чисел.
4)Вычислить сумму всех двузначных чисел.
1296.1) Найти сумму всех трехзначных чисел, кратных 4.
2) Найти сумму всех чисел, кратных k, начиная с k и кончая mk.
1297. Сколько нужно взять членов прогрессии 105; 98; 91; 84; ..., чтобы сумма их была равна нулю?
1298. Сколько раз часы пробьют за сутки, если они отбивают только целые часы?
1299. В каждой строке таблицы 8 по трем данным вычислить неизвестные значения величин.
1300. Найти сумму п членов прогрессии:
1301. В арифметической прогрессии дано: аp = q; аq = р. Найти аn.
1302. 1) Диаметры 5 шкивов, насаженных на общий вал, образуют арифметическую прогрессию, крайние члены которой равны 110 мм и 206 мм. Найти диаметры промежуточных шкивов.
2) Между числами а и b поместить k чисел, которые вместе с данными числами составили бы арифметическую прогрессию. Выписать первые 3 члена этой прогрессии.
1303. В каждой строке приведенной таблицы по трем данным вычислить неизвестные значения величин.
1304. Пятый член арифметической прогрессии, состоящей из 10 членов, равен 11, а восьмой ее член равен 17. Найти сумму всех членов этой прогрессии.
1305. Третий член арифметической прогрессии равен 10, а восьмой 30. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их равнялась 242?
1306. Восьмой член арифметической прогрессии составляет 40% от четвертого, а их сумма равна 2,8. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы сумма их равнялась 14,3?
1307. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, в которой:
1309. Решить уравнения:
1) 2 + 5 + 8+... + x = 155;
2) 1—5 — 11—...— x = —207;
3) x — 1 + x — 3 + . . . + x — 27 = 70.
1310. Найти натуральное число, которое равно сумме всех ему предшествующих натуральных чисел.
1311. Найти три последовательных нечетных числа, зная, что сумма их квадратов на 55 больше суммы квадратов заключенных между ними четных чисел.
1312*. Определить такую арифметическую прогрессию, в которой отношение между суммой п первых членов и суммой п членов, следующих за ними, не зависит от числа членов.
1313. Доказать, что выражения (а + b)2; (а2 + b2); (а — b)2 являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Найти сумму ее п членов.
1314. Если числа a2, b2, с2 составляют арифметическую прогрессию, то числа
также образуют арифметическую прогрессию. Доказать.
1315. Показать, что если числа а, b и с являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, то существует тождество
(а + b + с)3 = а2 (b + с) + b2 (а + с) + с2 (а + b).
1316*. Доказать тождество
где а1, а2, а3, ..., аn — члены арифметической прогрессии.
1317. Найти сумму
502 — 492 + 482 — 472 + ... + 22 — 1.
1318. Найти сумму первых двадцати нечетных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.
1319. Первый член арифметической прогрессии равен 7, второй и третий соответственно равны квадратам двух последовательных натуральных чисел. Найти прогрессию.
1320. Арифметическая прогрессия содержит 8 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 28, а на нечетных местах 16. Найти прогрессию.
1321. Найти а1+ а6 + а11 + а16, если известно, что а1, а2, а3, ... — арифметическая прогрессия и что а1 + а4 + а7+ ... + а16 =147.
1322. Могут ли числа 1,√3 , 3 быть членами арифметической прогрессии?
1323*. Некоторые члены арифметических прогрессий 9; 12; 15; 18; ... и 8; 12; 16; 20; ... одинаковы. Найти сумму первых 50 одинаковых членов этих прогрессий.
1324. Показать, что числа, выражающие суммы внутренних углов треугольника, четырехугольника, пятиугольника и т. д., составляют арифметическую прогрессию.
1325*. Если длины сторон a, b, d и с четырехугольника составляют арифметическую прогрессию, то в него можно вписать окружность. Доказать.
1326. Найти число сторон многоугольника, у которого число градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах его, составляют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 100°, а разность 10°.
1327. Числа, измеряющие углы треугольника, составляют арифметическую прогрессию. Найти средний член этой прогрессии.
1328. При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую.
Найти: 1) какой путь пройдет тело за одиннадцатую секунду;
2) какой путь пройдет тело за 11 сек;
3) сколько времени будет падать тело с высоты 4410 м?
1329. 1) Через сколько секунд свободного падения камень упадет на дно шахты, если ее глубина равна 80 м?
2) Найти глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 сек после начала падения.
1330. Два тела начали свободно падать с определенной высоты одно после другого спустя 6 сек. Через сколько секунд после начала падения первого тела оно будет на расстоянии 294 м от другого тела?
1331. Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 5 см. Найти число членов этой прогрессии, если наименьший отрезок равен 2 см, а сумма длин всех отрезков равна 245 см.
1332. Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест, расстояние между которыми равно 127 м. Первое тело движется равномерно со скоростью 5 м/сек. Второе тело, вышедшее на 3 сек позже первого, в первую секунду проходит 5 м, а в каждую следующую на 2 м больше, чем в предыдущую. Сколько секунд двигалось первое тело до встречи?
1333. Длины сторон многоугольника составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 3 см. Наибольшая сторона многоугольника содержит 38 см. Найти число сторон многоугольника, если его периметр равен 258 см.
1334. По шоссе в одном и том же направлении движутся грузовой и легковой автомобили, расстояние между которыми 297 м. Грузовой автомобиль идет впереди с начальной скоростью 10 м/сек, а в каждую следующую секунду его скорость возрастает на
0,1 м/сек. Легковой автомобиль имеет начальную скорость 12 м/сек, а его ускорение 0,2 м/сек2. Сколько потребуется времени, чтобы автомобили поравнялись?
1335. Поезд, отходя от станции, равномерно увеличивает скорость и через 20 мин достигает скорости 60 км/ч. Чему равно ускорение поезда в минуту?
1336. Шар, скатывающийся по наклонному желобу, в первую секунду проходит 0,6 м, а в каждую следующую секунду его скорость увеличивается на 0,6 м. Сколько времени будет двигаться шар по шестиметровому желобу?
1337. Для награждения победителей в соревновании было выделено несколько ценных призов; стоимость наибольшего приза 30 руб., а стоимость каждого следующего приза уменьшается на одну и ту же сумму до самого меньшего в 6 руб. Сколько участников соревнований было премировано и какой стоимости приз получил каждый из них, если на премирование было израсходовано 72 руб.?
1338. Два тела движутся навстречу друг другу из точек, отстоящих одна от другой на расстоянии 555 см. Через сколько секунд тела встретятся, если первое тело проходит в первую секунду своего движения 30 см, а в каждую следующую на 5 см больше, чем в предыдущую; второе же тело в первую секунду проходит 60 см, а в каждую следующую на 4 см меньше, чем в предыдущую?
1339. Из точки М начало двигаться тело А, проходя в первую секунду 1 м и в каждую следующую на 2 м больше, чем в предыдущую. Спустя 3 сек из той же точки М в том же направлении вышло второе тело В, которое проходило в первую секунду 12 м, а в каждую следующую на 1 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд после выхода тела В последнее догонит тело А?
1340. Для поливки 20 деревьев, расположенных по прямой линии на расстоянии 2 м друг от друга, садовник приносит воду для каждого отдельного дерева из колодца, находящегося на той же прямой линии в 10 м от первого дерева. Сколько всего метров пройдет садовник, чтобы полить все деревья и возвратиться к колодцу?
ОТВЕТЫ
