6 ПРОГРЕССИИ

§ 27. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

1341. Показать, что последовательность, общий член которой выражается одной из следующих формул, есть геометрическая прогрессия:

1) аn= 3 • 2n;         2) аn= 2/5• 3n;
3) аn= 3/2n                   4) аn= 3 • (—1/2)n.

Вычислить первые четыре члена каждой прогрессии.

1342. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии:

1) 2; √2; 1; ...;                   2) a5= 96; a6 = 192;
3) аn; аn—1; аn—2; ...;       4) аn—1= 3/2; аn= 2√3/3?

1343. Какой зависимостью связаны между собой три последовательных члена геометрической прогрессии?

1344. Образуют ли геометрическую прогрессию следующие числа:

1345. 1) Показать, что значения функции tg αот углов π/6, π/4, π/3 образуют возрастающую геометрическую прогрессию.

2) Показать, что значения функции ctg αот углов π/6, π/4, π/3 образуют убывающую геометрическую прогрессию.

1346. Найти шестой член геометрической прогрессии:

1) 3; 9; 27; ...;             2) —2; 8; —32;...;
3) 4; —1; 1/4 ...;          4) 3/2; 1; 2√3/3 ; ...

1347. Найти число членов геометрической прогрессии, в которой
a1 = 3; q = 1/2; аn = 3/64.

1348. В геометрической прогрессии, содержащей пять членов, последний член равен 16/27. Найти первый член прогрессии, если ее знаменатель равен — 2/3.

1349. Чему равен знаменатель геометрической прогоессии, состоящей из четырех членов, если a1= 2/3 и аn= 9/32.

1350. Как изменится знаменатель прогрессии, если порядок ее членов изменить на обратный?

1351. Найти сумму п членов геометрической прогрессии, в которой:

1) a1= 5; q = 3; п = 5;
2) a1= 3; q = — 2; n = 6;
3) a1= — 2; q = 1/2 ; n = 7;

5) a1= √6 ;   q = √2 ;   n = 9.

1352. Найти первый член и сумму п членов геометрической прогрессии, в которой:

1) аn = 192; q = 2; п = 7;

2) аn =  32/81; q = — 2/3; п = 6;

3) аn = 9√6; q = √3; п  = 5.

1353. В каждой строке приведенной таблицы вычислить неизвестные значения величин.

1354. Чему равно произведение

1355. Доказать, что произведение двух равноотстоящих от концов членов геометрической прогрессии равно произведению крайних членов.

1356. Вывести формулу произведения п членов геометрической прогрессии с положительными членами в зависимости от крайних егo членов  a1 и аn.

1357. Найти произведение п членов геометрической прогрессии:

1358. Между числами 243 и 1 поместить четыре числа, которые вместе с данными числами образовали бы геометрическую прогрессию.

1359. Между числами 8 и 128 поместить три средних геометрических.

1360. Между числами a/b2  и b/a2    вставить пять средних геометрических.

1361. Начиная с какого номера члены геометрической прогрессии —8; 4; —2; ... по абсолютной величине меньше 0,001?

1362. Определить первый член и знаменaтель геометрической прогрессии, если:

1363. Определить первый член, знаменатель и число членов геометрической прогрессии, если:

1364. В геометрической прогрессии с положительными членами S2 = 4 a S3 = 13. Найти S5.

1365. Разность между шестым и четвертым членами геометрической прогрессии равна 72, а между третьим и первым равна 9. Найти сумму 8 членов этой прогрессии.

1366. Геометрическая прогрессия состоит из 6 членов. Найти ее знаменатель, зная, что сумма 3 первых членов в 8 раз меньше суммы 3 последних членов.

1367. Найти 4 числа, составляющие убывающую геометрическую прогрессию, зная, что сумма ее крайних членов равна 112/3, а сумма средних 10.

1368. Найти геометрическую прогрессию, имеющую шесть членов, зная, что сумма членов, стоящих на четных местах, равна 99,75, а сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 66,5.

1369. Показать, что если числа а, b, с и d составляют геометрическую прогрессию, то между этими числами существуют следующие соотношения:

1) (а2 + bv + с2) (b2 + с2 + d2) = (ab + bc + cd)2;
2) (а — d)2 = (а — с)2 + (b — с)2 + (b — d)2;
3) (а + b + с) (а — b + с) = а2 + b2 + с2.

1370. Сумма 3 первых членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма квадратов тех же членов 91. Найти прогрессию.

1371. Найти геометрическую прогрессию с вещественными членами, если сумма 3 первых членов ее равна 13, а произведение их 27.

1372. Три числа, сумма которых равна 21, составляют арифметическую прогрессию. Если из второго числа вычесть единицу, а к третьему прибавить единицу, то эти 3 числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа.

1373. Три числа, сумма которых равна 28, составляют геометрическую прогрессию. Если большее из них уменьшить на 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

1374. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 42; те же числа составляют первый, второй и шестой члены возрастающей арифметической прогрессии. Найти эти числа.

1375. В геометрической прогрессии второй член равен 8, а пятый равен 512. Составить арифметическую прогрессию, у которой разность в два раза меньше знаменателя геометрической прогрессии, а суммы трех первых членов в одной и другой прогрессиях были бы равны.

1376. В арифметической прогрессии второй член равен 14, а пятый равен 20. Составить геометрическую прогрессию, у которой знаменатель в два раза больше разности арифметической прогрессии, а сумма трех первых членов была бы равна сумме тех же членов арифметической прогрессии.

1377. Три числа, сумма которых равна 19,5, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии и одновременно вторым, восьмым и двадцать третьим членами арифметической прогрессии. Найти сумму пяти членов геометрической прогрессии.

1378. Первый и третий члены арифметической прогрессии соответственно равны первому и третьему членам геометрической прогрессии, а второй член арифметической прогрессии превышает второй член геометрической прогрессии на 0,25. Определить сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если первый член ее 2.

1379. Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 51. Если от этих чисел отнять соответственно 1, 7 и 8, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Сколько членов арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма равнялась 555?

1380. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую возрастающую прогрессию, равна 65. Если от этих чисел отнять соответственно 1, 8, 35, то получатся три числа, составляющие арифметическую прогрессию. Сколько членов геометрической прогрессии надо взять, чтобы их сумма равнялась 200?

1381. Три числа, сумма которых равна 217, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как второй, девятый и сорок четвертый члены арифметической прогрессии. Сколько членов этой арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 820?

1382. Три числа, сумма которых равна 76, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как первый, четвертый и шестой члены арифметической прогрессии. Сколько членов этой арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 176?

1383. Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна 4, а разность между третьим и вторым членами той же прогрессии равна 12. Определить сумму 10 членов арифметической прогрессии, первый и пятый члены которой соответственно равны первому и третьему членам данной прогрессии.

1384. В геометрической прогрессии, все члены которой — положительные числа, разность между третьим и первым членами равна 9, а разность между пятым и третьим членами той же прогрессии равна 36. Определить сумму 12 первых членов арифметической прогрессии, первый и третий члены которой соответственно равны первому и второму членам данной геометрической прогрессии.

1385. Сумма трех первых членов убывающей арифметической прогрессии равна 54. Если ее первый член оставить без изменения, второй уменьшить на 9, а третий — на 6, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти арифметическую прогрессию.

1386. Известно, что период полураспада радиоактивного газа радона Т = 3,825 суток. Определить, какое количество радона осталось в запаянной ампуле через t = 38,25 суток, если его первоначальное количество М0 = 0,5 кг?

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz