6 ПРОГРЕССИИ
§ 28. БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1387. 1) 2; 1; 1/2; ...; 2) 4; 2 2/3; 1 7/9; . . .;
3) 2; —1; 1/2;...; 4) 1; — 2/3; 4/9 ;....
1390*. В какой системе счисления сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии 3/2; 3/4; 3/8; . .. может быть записана в следующем виде: 11?
1391. Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
1) сумма прогрессии равна 4, а ее знаменатель 1/2;
2) сумма прогрессии равна 2 (√2 + 1), а ее знаменатель 1/√2
3) сумма пяти первых членов равна 11/8, а сумма прогрессии 4/3.
1392. Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 3√3, а сумма прогрессии 
. Найти знаменатель прогрессии.
1393. Знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии,
равен 1/6√30, а сумма прогрессии 
. Найти третий член прогрессии.
1394. Найти число членов арифметической прогрессии, первый член которой равен 5, а разность равна 1, если сумма всех ее членов равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, имеющей вторым членом 15 3/7, а третьим 13 11/49.
1395. Следующие чистые периодические дроби представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и найти эту сумму:
1) 0, (2); 2) 2, (7); 3) 1, (3);
4) 2, (21); 5) 1,(27); 6) 0,(19);
7) 3, (342); 8) 0, (901); 9) 5, (002).
1396. Следующие смешанные периодические дроби представить в виде суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и вычислить эту сумму:
1) 0,2 (3); 2) 1,0(7); 3) 2,3(24);
4) 3,7 (288); 5) 3,20 (3); 6) 2,15 (30);
7) 1,06 (32); 8) 0,00 (819); 9) 0,111 (2).
1397. Найти сумму следующих бесконечно убывающих геометрических прогрессий:
1) 1 + sin π/6 + sin2 π/6 + sin3 π/6 + .... ;
2) 1 — cos π/6 + cos2 π/6 — cos3 π/6 + ....
3) 1 — sin2 π/8 + sin4 π/8 — sin6 π/8 + ....
4) 1 + cos2 π/12 + cos4 π/12 + cos6 π/12 + ....
1398. Найти предел суммы последовательности:
1399. Расстояние между автомобилем и пешеходом 1 км. Скорость автомобиля в 10 раз больше скорости пешехода. Какой путь должен пройти автомобиль, чтобы догнать пешехода, если они движутся равномерно.
1400. В 12 ч часовая и минутная стрелки часов совпадают. Через сколько времени стрелки вновь совместятся?
1401. В равносторонний треугольник, сторона которого 4 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. В построенный треугольник таким же способом вписан новый треугольник и так далее до бесконечности. Найти предел: 1) суммы периметров этих треугольников; 2) суммы их площадей.
1402. Из высот правильного треугольника, сторона которого равна а, строят треугольник, из высот построенного треугольника строят новый треугольник и так далее. Определить сумму площадей полученных треугольников при неограниченном продолжении такого построения.
1403. В квадрат, сторона которого а, вписан круг; в круг вписан квадрат; в этот квадрат вписан круг и так до бесконечности. Найти предел суммы: 1) периметров всех квадратов; 2) площадей всех квадратов; 3) длин окружностей; 4) площадей всех кругов.
1404. В круг радиуса R вписан правильный треугольник; в треугольник вписан круг; в этот круг снова вписан треугольник и так до бесконечности. Найти предел суммы: 1) периметров всех треугольников; 2) площадей всех треугольников; 3) длин окружностей; 4) площадей кругов.
1405. Вершины правильного многоугольника соединены с его центром О отрезками
АО, A1O, А2О и т. д. (рис. 54). Из вершины А на A1O опущен перпендикуляр, длина которого а; из основания перпендикуляра на А2О опущен второй перпендикуляр; из основания этого перпендикуляра на А3О опущен третий перпендикуляр и так до бесконечности. Найти предел суммы длин перпендикуляров, полагая п = 6; 8; 12.
ОТВЕТЫ
