7 ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА IX КЛАССА

Уравнения и неравенства первой степени

1406. Найти наибольшее значение аргумента х, при котором приближенная формула (1 + x)² ≈1 + 2х дает погрешность, не превышающую 0,005.

1407*. Какое наибольшее значение имеет выражение

| х —1| — | х —2 | — | х |?

1408. Могут ли выражения

быть большими числа 3?

1409. Решить уравнение

1410. Решить алгебраически и графически уравнение

| х | = 2х — 3.

1411*. Решить системы уравнений:

1412. При каких значениях а уравнение ах — 7 = 4х — а  будет иметь: 1) единственное решение; 2) нулевое решение; 3) бесчисленное множество решений; 4) не будет иметь ни одного решения?

1413. При каких значениях а уравнение

х (а² — 8а + 15) = а² — 4а — 5:

1) не имеет ни одного корня; 2) имеет бесчисленное множество корней; 3) имеет только один корень?

1414. Поставить знак >, < или = между выражениями:

1415. Пусть а, b, с и d — положительные числа и ^a/_b > ^c/_d . Доказать, что дробь
больше дроби ^c/_d.

1424. При каких значениях п система уравнений

1) имеет единственное решение; 2) имеет бесконечное множество решений; 3) не имеет решений?

1425*. В каких пределах,изменяется угол заострения β и угол резания δ у резца
(рис. 55), зная, что задний угол α  и передний угол γ изменяются в следующих пределах: 9° < α  < 12°; 6° < γ < 28°.

1426. Расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых r₁ и r₂,
равно d. Найти расстояние от точки пересечения внешней касательной к этим окружностям с линией центров до центра ближайшей окружности. Решение исследовать.

1427. Дорога от A до В имеет спуск, а потом от В до С подъем, причем углы подъема в обе стороны одинаковы. Машина идет на спусках со скоростью 40 км/ч, а на подъемах 30 км/ч. Путь от A до С она сделала за 6 ч, а обратно за t ч. Найти расстояние от А до В и от В до С и указать, при каких значениях t задача имеет положительное решение.

1428. Машина стоимостью р руб. может работать t лет без ремонта. Если машину по прошествии t лет отремонтировать за q руб., то срок ее службы увеличится до Т лет. Найти условие, при котором затраты на ремонт оправдаются.

1429. 1) Два пешехода вышли одновременно один из А в В, а второй из В в A. Они двигаются равномерно с разными скоростями. После встречи до конца пути первому осталось идти 16 мин, а второму 9 мин. Сколько времени требуется каждому пешеходу, чтобы пройти путь AВ?
2) Решить уравнение k²х + 3 = k (х + 3).
3) Решить уравнение алгебраически и графически:

| х —1|  = 2x — 3,

4) Если х >3, то . Доказать.

1430. 1) В 9 ч от причала по реке отошла лодка, и одновременно  в воду с нее упала шляпа. Через 15 мин на лодке заметили пропажу и повернули обратно. В какой момент времени лодка подошла к шляпе? Показать, что решение задачи не зависит от того, отошла ли лодка по течению или против течения реки.
2) Решить уравнение алгебраически и графически. | 2х — 3 | = 5.
3) Решить систему неравенств

4) Доказать, что полупериметр треугольника больше каждой из его медиан.

1431. 1) Если число товарных вагонов в парке уменьшить на 10а, то отношение числа товарных вагонов к числу пассажирских вагонов будет равно а. Если же число пассажирских вагонов увеличить в 5 раз, то пассажирских вагонов будет больше, чем товарных на 100. Сколько было товарных и сколько пассажирских вагонов в парке, если а > 2 и а — целое число?
2) Решить алгебраически и графически неравенство

| х — 1 | + x >3.

3) Определить, при каких значениях а уравнение

имеет положительные решения.

1432. 1) Найти двузначное число, в котором цифра десятков в два раза меньше цифры единиц и отношение этого числа к числу обращенному равно а. Выяснить, при каком значении а задача возможна.

2) Дана система двух уравнений с двумя неизвестными х и у:

Определить, при каких значениях параметра k эта система будет: а) определенна; б) неопределенна; в) несовместна.

3) Доказать неравенство

где х > 0, у > 0, z > 0 и х =/=  у =/= z.

4) При каких значениях k прямые 2х + 3у = k  и  x + у = 6 пересекаются в точке, координаты которой положительны?

Задачи для контрольных работ

1433. 1) Решить неравенства алгебраически и графически:

а) 2х — 3 < х — 1;         б) | 0,5х — 2 | > 1.

2) Доказать неравенство x²_/a + a²_/x > а + х, если а > 0, х > 0.

3) Если от некоторого двузначного числа отнять его третью часть, то в результате получится число, большее 29, но меньшее 32. Найти это число.

1434. 1) Решить неравенства алгебраически и графически:

а) 0,5х + 1 > 3 — х;         б) | 2х — 2 |< 3.

2) Доказать неравенство

х³ + у³ > ху (х + у), если х > 0, у > 0.

3) В двузначном числе цифра десятков на 3 больше цифры единиц. Найти это число, если известно, что оно больше 35 и меньше 74.

________________

1435. 1) Исследовать уравнение ах + 5 = 4x — 1 в зависимости от параметра а.

2) Определить, при каких значениях аргумента х функция    больше ¹/₂.

3) В одном совхозе 48 сеялок, в другом 12. Первый совхоз передал второму несколько сеялок, и тогда в первом стало сеялок в а раз больше, чем во втором. Сколько сеялок передал первый совхоз второму, если а — целое число?

1436. 1) Исследовать уравнение k (х + 1) + 2 = 6 (х + 1) в зависимости от параметра k.

2) Определить, при каких значениях аргумента х функция  меньше 1.

3) В одной бригаде совхоза 22 трактора, в другой 7. На период сева в каждую бригаду добавили по одинаковому количеству тракторов, и тогда в первой бригаде их стало в
а раз больше, чем во второй. Сколько тракторов добавили в каждую бригаду, если известно, что а — целое число?

1437. 1) Решить систему уравнений

Дать графическое истолкование решения.

2) Определить, при каких значениях параметра k система уравнений

а) имеет единственное решение; б) имеет бесконечное множество решений; в) не имеет решений.

1438. 1) Решить систему уравнений

Привести геометрическую иллюстрацию решения.

2) При каких значениях т система

а) имеет единственное решение; б) имеет бесчисленное множество решений, в) не имеет решений.

ОТВЕТЫ