7 ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА IX КЛАССА
Действительные числа. Квадратные уравнения
1439. 1) Может ли число быть:
а) противоположным самому себе; б) обратным самому себе? Указать все такие числа.
2) Для всякого ли числа существует: а) противоположное ему число; б) обратное ему число?
1440. Даны два числа: —0,6 и —0,62. Указать какое-нибудь число: 1) меньшее меньшего из данных чисел; 2) большее большего из них; 3) заключенное между данными числами.
1441. Какое число надо вычесть из а, чтобы получить противоположное ему число?
1442. Выполнить указанные действия:
и убедиться, что полученный результат меньше √0,002 .
1443*. Дан отрезок, равный единице. Построить отрезки, равные следующим числам: √2; √3; √4; √5; √6; √7; √8; √9; √10
1444. Мачта телевизионного центра высотой 180 м находится от телезрителя на расстоянии 60 км. Будет ли уверенный прием (возможный в условиях прямой видимости) на антенну высотой 15 м, если дальность D прямой видимости в километрах рассчитывается по формуле D = 4,1 • (√h1 +h2 ), где h1 и h2 — высоты установки, передающей и принимающей антенны в метрах?
1445*. Дано выражение
1) Показать, что N = √2.
2) Найти рациональное приближение √2 с точностью до 0,001 путем вычисления значения выражения N.
1446*. Найти основание системы счисления, если 534x = 3128.
1447. Решить уравнение
(7 — 4√3) х2 + (2 — √3) х — 2 = 0.
1448. Доказать, что корни уравнения ах2 + (а + 2) х + 1 =0 действительные и неравные при всяком значении а.
1449. В квадратном уравнении х2 — х + а = 0 определить а так, чтобы х12 + х22 = 25, где х1 и х2 — корни данного уравнения.
1450. Найти значение т, при котором один из корней уравнения
8х2 — 11x + m2 + 5т — 14 = 0 равен нулю.
1451. Для каких значений т разность корней уравнения 2x2 — (т + 1) х + т + 3 = 0 равна 1?
1452. Сократить дроби:
1453. Решить уравнения:
1) (х2 — 2х + 2)2 — 15 (х2 — 2х + 2) — 34 = 0;
2) (х2 + 5х — 1)2 — 6х2 + 30х —13 = 0.
1454. Разложить на множители:
(х2 + 7х + 1)2 — 6х (x2 + 7х + 1) + 5х2
1455. Решить уравнения:
1456. Существуют ли такие значения х, при которых 3х4 меньше 28х2 на 9? Если существуют, то найти их.
1457. Большая сторона прямоугольника является средним пропорциональным между меньшей стороной и его полупериметром. Найти измерения прямоугольника, если его площадь равна а м2.
1462. Найти координаты точек пересечения линий:
1) прямой 3x — у — 5 = 0 и параболы у = 2/3 х2 — 2х + 4;
2) прямой 2х — 3у — 3 = 0 и гиперболы ху = 3;
3) параболы у = 2х2 — 3x — 2 и параболы у = — 1/2 х2 + 2х — 4 1/2
1463. Квадратный трехчлен ax2 + bx + c при х = — 1 обращается в нуль, а при значении х = 3/4 принимает наименьшее значение, равное — 49/8. Найти коэффициенты трехчлена.
1464. Вершина параболы у = ax2 + bx + c имеет координаты х0= 4; у0 = —1. Одна из ветвей параболы проходит через точку с координатами (0; 15). Найти коэффициенты трехчлена.
1465*. В деревянном бруске, имеющем квадратное основание со стороной а и высоту h (h < а), нужно сделать квадратный вырез (рис. 56). Какой должна быть сторона основания этого выреза, чтобы полная поверхность оставшейся части бруска была наибольшей?
1466. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 30 м/сек. Через сколько, секунд: 1) тело будет на высоте 40 м; 2) упадет на землю (ускорение силы тяжести принять равным g ≈ 10 м/сек2)?
1467. Турист наметил пройти путь 30 км с. определенной скоростью. Однако первую половину пути он шел со скоростью на 1 км/ч меньшей, а вторую половину — со скоростью на 1 км/ч большей, чем намечал. На сколько минут опоздал турист, если на весь путь он затратил 8 ч?
1468. Два автомобиля выехали одновременно из пунктов М и N навстречу друг другу. Они встретились в 50 км от N, а затем, доехав до М и N, не останавливаясь, вернулись обратно и вновь встретились в 25 км от М. Найти расстояние MN, если скорость автомашин считать постоянной.
1469. 1) Составить квадратное уравнение по его корням:
a) 1 + √2 и 1 — √2; б) — 2/3 и 0.
2) Не решая уравнения 6х2 — х — 2 = 0, найти сумму квадратов его корней.
3) В уравнении 5х2 — 2х + с = 0 один корень больше другого на 0,8. Найти с.
4) Сократить дробь 
1470. 1) Из колхоза в город, расстояние между которыми 35 км, выехал велосипедист. Через 30 мин из того же колхоза в город выехал второй велосипедист, который проезжал в час на 2 км больше первого. Сколько километров в час проезжал каждый велосипедист, если второй догнал первого в 5 км от города?
2) Решить уравнение
3) При каком значении с корни х1 и х2 уравнения 2х2 — 11х + с = 0 удовлетворяют условию: 2x1 — х2 = 3,5?
1471. 1) Расстояние по реке между двумя пристанями равно 50 км. Отправившись от одной из них, катер возвратился обратно через 5 ч, затратив из этого времени 30 мин на стоянку у второй пристани. Найти собственную среднюю скорость катера (скорость в стоячей воде), зная, что скорость течения реки равна 2,5 км/ч.
2) При каких значениях п корни уравнения х2 — 2 (2n — 3) х — 2n + 3 = 0 равны между собой?
3) Решить алгебраически и графически неравенство х2 — 5х + 6 < 0.
1472. 1) Найти два числа, если их среднее арифметическое на 16 меньше большего из этих чисел, а среднее геометрическое на 8 больше меньшего из чисел.
2) Решить уравнение
√3х — 2 —√2x — 3 = 1.
3) Решить графически и алгебраически систему уравнений
1473. 1) Груз из 14 одинаковых ящиков и одной бочки весит 658 кГ. Определить вес ящика и вес бочки, если вес бочки на 4% меньше веса 5 ящиков.
2) Решить графически и алгебраически уравнение
√х + 5 —√x — 3 = 2.
3) Решить систему уравнений
1474*. Решить неравенства:
1) 4х < х2 < 4x + 5; 2) | х2 — 2х — 3 |< 3 (х — 1);
Задачи для контрольных работ
1475. 1) Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 30 мин раньше второго. Определить скорость каждого автомобиля, если известно, что расстояние между городами S км.
Каким может быть в этой задаче S, если скорость второго автомобиля больше 45 км/ч, но меньше 55 км/ч?
2) Определить, при каких значениях п один из корней квадратного уравнения
(2 — п) х2 — 3х + 2п — n2 = 0 равен нулю.
1476. 1) Тракторная бригада должна была вспахать к определенному сроку а га, но бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и поэтому закончила работу на 2 дня раньше срока. Сколько гектаров вспахивала бригада ежедневно?
Каким может быть в этой задаче а, если известно, что бригада вспахивала ежедневно больше 20 га, но меньше 30 га?
2) Определить, при каких значениях k уравнение (k + 2)x2 + (k2 — 4)x — 20 = 0 имеет корни, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку.
1477. 1) Составить квадратное уравнение, в котором свободный член равнялся бы 0,1 и один корень был бы на 0,3 меньше другого.
2) Исследовать, при каких значениях параметра k уравнение
2kx2 + (4k — 5)х + 2k = 0:
а) имеет корни действительные и различные; б) имеет корни действительные равные; в) не имеет действительных корней.
3) Показать на графике, что уравнение х2 — 2х + т = 0 при т < 0 имеет два действительных корня разных знаков, причём абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня.
1478. 1) Составить квадратное уравнение, в котором коэффициент при неизвестном в первой степени равнялся бы —8 и один корень был бы втрое больше другого.
2) Доказать, что уравнение 3х2 + (3т + п)х + (тп — 1) = 0 при всех значениях т и п имеет действительные корни.
3) Показать на графике, что уравнение х2 — 2х + k = 0 при 0 < k < 1 имеет два различных положительных корня.
__________________
1479. 1) Решить систему уравнений
2) Найти четные значения х, удовлетворяющие неравенству
3) Показать на графике, что уравнение √х +2 + 3 = 0 не имеет действительных корней.
1480. 1) Решить систему уравнений
2) Найти целые значения х, удовлетворяющие неравенству
3) Решить графически уравнение
√х +1 = 5 — х.
ОТВЕТЫ
