7 ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА IX КЛАССА
Тригонометрические функции любого аргумента
1497. Верно ли равенство
sin α + sin β— sin γ = 3,2?.
1498. Дано: cos α = 15/17 и 270° < α <360°. Найти значения остальных тригонометрических функций.
1499. Существуют ли углы х и у такие, что
sin x • sin у • cos (х + у) = 1,1?
1500. Дано: sin α = √1 — а4 , π/2 < α < π. Определить cos α.
Каким должно быть число а?
1501. Вычислить ctg [arcsin (—0,28)].
1502. Показать, что величина выражения
(a sin α + b) (а sin α — b) + (а cos α + b) (a cos α — b) не зависит от величины угла α.
1503. Решить уравнения:
1) tg (х — 15°) = 1; 2) sin2 x + 3 cos x — 3 = 0.
1504. Доказать тождества:
1505*. При каких значениях аргумента х на интервале [— π/2; π/2]
функция у = 3 — 2 sin2 x принимает наибольшее и наименьшее значения и каковы эти значения?
1506. Найти наименьший положительный период функции
y = 1/2 cos 2α.
1507. Упростить выражение
1508. Доказать тождества:
1) sin2 (π/4 — α) + sin2 (π/4 + α) + sin (π/2 — α) • cos (π/2 + α) • tg(n + α) = cos2 α;
2) sin6 x + 3 sin2 x • cos2 x + cos6 x = 1.
1509. Вычислить сумму
sin 110° + sin 130° + sin 150° + ... + sin 230° + sin 250° + sin 270°.
1510*. Доказать, что если (1 —sin A) • (1 — sin В) = cos A • cos В, то и
(1 + sin A) • (1 + sin В) == cos A • cos В.
1511. Доказать, что выражение 
(х =/= πk/2 ) не может принимать отрицательных значений.
1512* Исследовать функцию у = 2 sin x/2 — 1 и построить ее график.
1513. Для каких значений х в интервале (0; 2π) выполняется неравенство
| sin x — 1 | > 1?
1514. Сколько действительных корней имеет уравнение cos x = | х | ?
1515. 1) Найти нечетные значения х, удовлетворяющие неравенству
2) Найти целые значения х, удовлетворяющие неравенству
1516*. Решить неравенства:
1) | cos x — 1/2 | < 1, 0 < х < 2π;
2) | sin х | > | cos х | , 0 < х < 2π;
3) tg2 x < | 1 — 2ctg2 x |
4) sin π/x > 0; 5) √sin πx + √cos πx < 1.
Задачи для контрольных работ
1517. 1) На координатной плоскости построить угол, равный — 400°, и назвать еще несколько положительных и отрицательных углов, стороны которых соответственно совпадают со сторонами построенного угла. Составить общую формулу таких углов.
2) Пользуясь формулой перехода от радианной меры угла к градусной, найти (с точностью до 1') градусную меру угла, равного 2,3 рад.
3) Найти по таблицам радианную меру угла, содержащего 154°42'.
4) Из множества дуг единичной окружности, заданных формулой α = π/6 (3k— 1),
где k = 0; ±1; ±2; ..., выделить те, которые заключены в интервале (0; π). Найти координаты концов этих дуг.
1518. 1) Вектор OA>, повернувшись вокруг точки О, образовал с начальным своим положением угол АОМ, равный 2,8 рад. Построить чертеж и назвать несколько положительных и отрицательных углов, начальной и конечной сторонами которых являются соответственно векторы OA> и OM>. Написать общую формулу таких углов.
2) Пользуясь формулой перехода от градусной меры угла к радианной, найти (с точностью до 0,01 рад) радианную меру угла, содержащего 126°.
3) Найти по таблицам градусную меру угла, равного 2,345 рад.
4) Из множества дуг единичной окружности, содержащихся в формуле
α = 30° (3k — 1), где k = 0; ±1; ±2; ..., выделить те, которые заключены в интервале
(—90°; 90°). Найти координаты концов этих дуг.
1519. 1) Исходя из определения тригонометрических функций, найти
a) cos 4π/3; б) tg (— 60°).
2) Не находя числовых значений тригонометрических функций, определить, что больше: cos20° или ctg 20°. Ответ проиллюстрировать на единичной окружности.
3) Найти числовое значение выражения
sin (α + 10°) + cos 2α — tg (3α — 15°) + ctg(4α + 10°) при α =20°.
4) Построить дугу arcctg (—1,25).
5) При каких значениях х в интервале (0; 2π) функция у = 3 — 2 sin (х —π/3) принимает наименьшее значение? Найти его.
1520. 1) Пользуясь определениями тригонометрических функций, вычислить:
a) sin (—30°); б) ctg 5π/3.
2) Не находя числовых значений тригонометрических функций, установить знак разности sin 50°— tg 50°. Привести геометрическую иллюстрацию на единичной окружности.
3) Найти числовое значение выражения
tg (α + 20°) • sin ( 70° — α) — cos (6α + 60°) • ctg (65° — 2α) при α = 10°.
4) Построить дуго arccos ( — 3/5 )
5) При каких значениях х в интервале (0; 2π) функция у = 2 — 3 cos (х — π/4) принимает наибольшее значение? Найти его.
1521. 1) Показать, что функция у = х • tg x является четной, и определить значение функции при х = — π/4 .
2) Привести данные тригонометрические функции к наименьшему положительному аргументу и найти их значения:
a) cos 1140°; б) ctg 7,08 (по таблицам).
3) Исследовать функцию у = sin 2x + 1 и построить ее график.
1522. 1) Показать, что функция у = х — sin x является нечетной, и определить значение функции при х = — π/6.
2) Привести данные тригонометрические функции к наименьшему положительному аргументу и найти их значения:
a) sin 1110°; б) tg 16,24 (по таблицам).
3) Исследовать функцию у = cos 2x — 1 и построить ее график.
__________________
1523. 1) Вычислить cos [arcctg (—0,75)].
2) Доказать тождество
3) Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
sin4 x — sin2 x + cos2 x.
4) Решить уравнение
sin (х + 15°) — cos (x + 15°) = 0.
1524. 1) Вычислить sin [arctg (—2,4)] .
2) Доказать тождество
3) Найти наибольшее значение выражения
cos4 x — cos2 x + sin2 x.
4) Решить уравнение
sin (x — π/6) + cos (x — π/6) = 0.
___________________
1525. 1) Привести к наименьшему положительному аргументу и определить:
a) ctg (—1200°); б) cos 14,48 (по таблице).
2) Упростить выражение
2 cos 140° • cos 220° + sin 230°— sin 320° (tg 130° + tg 400°).
3) Доказать тождество
4) В интервале (—90°; 90°) указать угол, тангенс которого равен ctg 520°, и составить общую формулу углов, тангенс которых равен ctg 520°.
1526. 1) Привести к наименьшему положительному аргументу и определить:
а) tg 1050°; б) sin 10,17 (по таблице).
2) Упростить выражение
cos2 230° • (1 + ctg 220°) + sin2 310° • (1 — ctg 50°).
3) Доказать тождество
4) В интервале (0°, 180°) указать угол, котангенс которого равен tg 660°, и составить общую формулу углов, котангенс которых равен tg 660°.
ОТВЕТЫ
