7 ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА IX КЛАССА

Прогрессии

1527. Найти первые десять членов последовательности, если

Построить геометрическое изображение членов этой последовательности: 1) на числовой оси; 2) на координатной плоскости.

1528. Написать формулу для общего члена числовой последовательности:

1529. Вычислить первые пять членов числовой последовательности, общий член которой выражается формулой

а_n = 2^—п • cos nπ,

и построить геометрическое изображение этой последовательности точками числовой оси.

1530. Общий член последовательности выражается одной из следующих формул:

Написать первые четыре члена и найти предел каждой последовательности. .

1531. Дана окружность радиуса R. Найти апофему k_n правильного n-угольника, вписанного в окружность. Пользуясь тригонометрическими формулами, выяснить, к какой постоянной величине стремится последовательность длин апофем k_n при неограниченном возрастании п. Вычислить величину отношения k_n : R при некоторых значениях п и заполнить таблицу.

1532. Могут ли числа √2, √3 и √5 быть членами (необязательно соседними) арифметической прогрессии?

1533. Найти первый член  арифметической прогрессии и ее разность, если
а₂ — 3а₁ = 14,5;     а₆ + 3а₃ = 3,5.

1534. Найти сумму всех членов арифметической прогрессии, в которой первый член, разность и число членов прогрессии равны между собой, а последний член равен 2601.

1535. Прямоугольный лист разлинован на квадраты так, что их в длину листа помещается 12, а в ширину 10. В квадраты вписывают нечетные числа, начиная с единицы. Какое число будет написано в последнем квадрате и чему равна сумма всех написанных чисел?

1536. Четвертый член арифметической прогрессии 5, девятый член равен —10. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы сумма их равнялась 39?

1537. Первый член арифметической прогрессии равен 36, а разность равна —12. Определить число членов прогрессии, если их сумма равна 60.

1538. Найти сумму первых ста натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке единицу.

1539. Сумма трех первых членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а их произведение равно —21. Найти первый член и разность прогрессии.

1540. Сумма третьего и восьмого членов арифметической прогрессии равна 0,6, а сумма первых одиннадцати ее членов равна 2,2. Начиная с какого номера члены этой прогрессии отрицательные?

1541*. Пользуясь формулой (q + 1)³ = q³ + 3q² + 3q+1, найти сумму квадратов всех натуральных чисел от 1 до п включительно.

1542*. Пользуясь формулой (q + 1)⁴ = q⁴ + 4q³ + 6q² + 4q +1, показать, что

1543*. Найти сумму всех двузначных чисел, не делящихся ни на 3, ни на 5.

1544*. Доказать, что если числа а₁, а₂, а₃, ..., а_n образуют арифметическую прогрессию, то

1545. Образуют ли прогрессию следующие числа:

1) ^π/₆, ^π/₄, ^π/₃;          2) sin ^π/₆, sin ^π/₄, sin ^π/₃ ?

1546. Убедиться, что следующие числа образуют геометрическую прогрессию:

1547. Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, в которой произведение первого члена на третий равно 9, а сумма третьего члена с четвертым равна 2,25.

1548. Первый член геометрической прогрессии равен 3, а последний равен 24. Определить знаменатель прогрессии, если ее сумма на 43 больше знаменателя.

1549. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют убывающую геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель с  точностью до 0,01. '

1550. Сумма трех первых членов возрастающей геометрической прогрессии равна
3 + √2, а их произведение равно 2 √2. Найти  первый член и знаменатель этой прогрессии.

1551*. 1) Показать, что

2) Вычислить:

1552*. Разложить на целые множители разность (1 + а + а² + ... + а^п)² — а^п.

1553. Две прогрессии — арифметическая и геометрическая — имеют по три члена. Первый и последний члены арифметической прогрессии соответственно равны первому и последнему члену геометрической прогрессии. Для какой прогрессии сумма членов больше?

1554. Найти углы прямоугольного треугольника, если синусы этих углов образуют: 1) арифметическую прогрессию; 2) геометрическую прогрессию.

1555*. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими геометрическую прогрессию, причем произведение этих чисел равно 216.

1556*. Определить стороны треугольника, если они выражаются целыми числами, образующими арифметическую прогрессию, причем периметр треугольника равен 15.

1557*. Найти четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую и если сумма крайних членов равна 14, а сумма средних равна 12.

1558. Из точек М и N одновременно начали двигаться два тела навстречу друг другу. Первое тело проходило каждую секунду 9 м, а второе в первую секунду прошло 5 м, а в каждую последующую проходило на 1,5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд оба тела встретятся, если расстояние между М и N равно 180 м?

1559. 1) Из пункта А движется прямолинейно тело. В первую минуту оно прошло 3 м, а в каждую следующую минуту скорость его увеличивается на 6 м. Через 5 мин после выхода первого тела из того же пункта в противоположном направлении вышло второе тело. В первую минуту оно прошло 54 м, а в каждую последующую минуту скорость его возрастает на 3 м. Через сколько минут после выхода второго тела оба тела будут находиться на одинаковом расстоянии от пункта A?

2) Решить уравнение

(2х + 1) + (2х + 2) + (2х + 3) +...+ (2х + 15) = 15х +150.

1560. 1) Два тела А и В, находясь на расстоянии 13 м друг от друга, начали одновременно двигаться в одну и ту же сторону. Скорость тела А в первую секунду была равна 25 м, а в каждую последующую возрастала на 0,5 м. Скорость тела В в первую секунду была равна 30 м, а в каждую следующую убывала на 0,5 м. Через сколько секунд тело А догонит тело В?

2) Обратить смешанную периодическую дробь 3,21 (3) в обыкновенную. Решение обосновать.

1561. 1) Найти четыре числа, если первые три из них составляют арифметическую прогрессию, последние три — геометрическую. Известно, что разность арифметической прогрессии равна 4, а знаменатель геометрической прогрессии равен ⁴/₃.

2) Четвертый член арифметической прогрессии равен —1, а девятый равен 14. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма равнялась 35?

3) Дана прогрессия ÷ 2; 7; 12; 17;... .Начиная с какого номера ее члены будут больше 1000?

4) Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
(2 + √2); ( √2 + 1); ( l + ^√2/₂) ; ...

Задачи для контрольных работ

1562. 1) Произведение первого члена убывающей арифметической прогрессии на ее разность равно —22, а сумма первых семи ее членов равна 35. Начиная с какого номера члены этой прогрессии отрицательны?

2) Найти сумму первых 25 членов арифметической прогрессии, в которой тринадцатый член равен 15.

3) Решить уравнение       3 + 7 + 11 + ... + х = 136.

1563. 1) Сумма восьми членов возрастающей арифметической прогрессии равна —24, а произведение первого члена на разность прогрессии равно —20. Начиная с какого номера члены этой прогрессии неотрицательны?

2) В арифметической прогрессии а₅ = 12, а₁₂ = 5, найти семнадцатый член прогрессии.

3) Найти сумму п членов прогрессии:

________________

1564. 1) Сумма первых 3 членов геометрической прогрессии, все члены которой — положительные числа, равна 21. Третий член прогрессии больше первого на 9. Сколько членов этой прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 189?

2) Смешанную периодическую дробь 3,20 (6) обратить в обыкновенную дробь. Решение обосновать.

3) Между числами 2 и 162 вставить три средних геометрических.

1565. 1) Первый член геометрической прогрессии, все члены которой — положительные числа, равен 1, а последний ее член 16. Определить число членов этой прогрессии, если ее сумма на 29 больше знаменателя прогрессии.

2) Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

3) Показать, что последовательность, общий член которой выражается формулой
а_n = 2 • 3^п, есть геометрическая прогрессия. Найти сумму четырех членов этой прогрессии.

1566. 1) Сумма трех чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равна 3. Если третье число увеличить на ¹/₃₀, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Сколько членов арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 2,2?

2) Найти арифметическую прогрессию, если сумма третьего и шестого членов ее равна 2, а сумма четвертого и девятого членов равна —14.

3) Пользуясь формулой общего члена последовательности , написать восемь первых ее членов. Будет ли число — ¹/₁₄₅  членом этой последовательности?

4) Общий член числовой последовательности выражается формулой

а_n = 2^—n • sin ^π/₂  (2п + 1).

Вычислить первые четыре члена этой последовательности и построить ее геометрическое изображение точками числовой оси.

1567. 1) Три числа, сумма которых равна 7, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Если бы большее из этих чисел было на единицу меньше, то числа составили бы арифметическую прогрессию. Сколько членов геометрической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 255?

2) Сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии равна 12, а пятый ее член больше второго в два раза. Найти первый член и разность этой прогрессии.

3) Дана последовательность 1; ²/₃; ³/₅; ⁴/₇; .... Написать возможно более простую формулу для общего члена данной последовательности и, пользуясь этой формулой, найти ее сотый член.

4) Найти пределы последовательностей:

ОТВЕТЫ