8 “–»√ќЌќћ≈“–»„≈— »≈ “≈ќ–≈ћџ —Ћќ∆≈Ќ»я » »’ —Ћ≈ƒ—“¬»я
§ 29. “–»√ќЌќћ≈“–»„≈— »≈ ‘”Ќ ÷»»
—”ћћџ » –ј«Ќќ—“» ј–√”ћ≈Ќ“ќ¬
“еоремы сложени¤ дл¤ синуса и косинуса
1568. ¬ координатной плоскости даны два единичных вектора e1 и е2, образующих с осью абсцисс углы, равные соответственно α и β (рис. 57).
1) »сход¤ из определени¤ скал¤рного произведени¤ двух векторов, найти скал¤рное произведение e1 Х е2 данных векторов.
2) ¬ыразить координаты векторов e1 и е2 через тригонометрические функции углов
α и β и определить скал¤рное произведение этих векторов в координатах.
3) —равнива¤ полученные результаты, доказать формулу
cos (α Ч β) = cos α Х cos β + sin α Х sin β.
4) ѕочему эта формула, выведенна¤ при определенном положении векторов e1 и е2 на координатной плоскости, остаетс¤ верной и дл¤ любого другого расположени¤ этих векторов?
5) ѕользу¤сь формулой косинуса разности двух аргументов α и β, вывести формулу дл¤ косинуса суммы тех же аргументов.
1569. ”простить: 1) cos (60° Ч α) + cos (60° + α);
2) cos (α + π/6 ) Ч cos (α Ч π/6 ).
1570. α и β Ч острые положительные углы, sin α = 5/13 и sin β = 3/5.
¬ычислить: 1) cos (α + β); 2) cos (α Ч β).
1571. ƒано: sin α = Ч 15/17; 270° < α < 360°.
¬ычислить: 1) cos (60° + α); 2) cos (60° Ч α).
1572. 1) ¬ычислить cos 15°, представив 15° как разность 60° Ч 45°.
2) ¬ычислить cos 75°, представив 75° как сумму 30° + 45°.
3) ¬ычислить cosl05°, представив 105° как сумму 45° + 60°.
1573. ƒано: sin α = 0,6; sin β = Ч0,28; 0° < α < 90° и 180°< β <270°.
¬ычислить: 1) cos (α + β); 2) cos (α Ч β).
1574. ƒано: tg α = Ч3 15/16; tg β = 3 33/56; 90°< α < 180° и 0° < β < 90°.
¬ычислить: 1) cos (α + β); 2) cos (α Ч β).
1575. ƒано: ctg α = 8/15; ctg β = Ч 7/24; 0° < α < 90° и 90° < β < 180°.
¬ычислить: 1) cos (α + β); 2) cos (α Ч β).
1576. ƒано: cos α = 1/9; cos (α +β) = Ч 2/7; 0° < α < 90° и 0° < β < 90°.
Ќайти cos β.
1577. ѕользу¤сь формулами косинуса суммы и разности двух аргументов, доказать следующие формулы приведени¤:
1) cos (90° Ч α ) = sin α ; 2) cos ( 90° + α ) = Чsin α ;
3) cos (180° Ч α ) = Чcos α ; 4) cos (180° + α ) = Чcos α ;
5) cos (270° Ч α ) = Ч sin α ; 6) cos (270° + α ) = sin α ;
7) cos (360° Ч α ) = cos α .
1578. ѕользу¤сь формулой косинуса суммы двух аргументов, доказать формулу
(задача 1205)
1579. ¬ычислить.
1) cos (arcsin 0,6 + arccos 0,8);
2) cos (arccos 0,28 Ч arctg 0,75);
3) cos (arccos 16/65 + arcctg 4/3).
1580*. ¬ыразить через арккосинус:
1) arcsin 15/17 + arcsin 3/5; 2) arccos 5/13 Ч arcsin 4/5;
3) arctg 0,225 + arccos 0,28; 4) arcsin 15/17 Ч arcctg 1,05.
1581. —инусы двух острых углов треугольника равны соответственно 20/29 и 3/5. Ќайти косинус внешнего угла треугольника, не смежного с двум¤ данными углами.
1582. –ешить уравнени¤:
1) sin х Х sin 2x + cos x Х cos 2x = 0;
2) sin x Х sin 2х + cos 3х = 0;
3) cos 1,5x = cos 0,5x Х cos x;
4) cos (45° + 2x) Х cos(60°+x) + cos (45°Ч2x) Х cos (30°Чx) = l;
5) cos (40° + x) + cos (20° + x) = cos 10°.
1583. ѕользу¤сь формулой косинуса разности двух аргументов α и β, доказать формулу
sin (α ± β) = sin α Х cos β ± cos α Х sin β.
1584. ”простить:
1) sin (30° + α) + sin (30° Ч α);
2) sin( π/3 + α)Ч sin( π/3 Ч α).
1585. α и β Ч острые положительные углы; sin α = 0,8; sin β = 0,96.
¬ычислить: 1) sin (α + β); 2) sin (α Ч β).
1586. ƒано: sin α = 9/41, 90° < α < 180°.
¬ычислить: 1) sin (α + 45°); 2) sin (α Ч 45°).
1587. ¬ычислить: 1) sin 15°; 2) sin 75°; 3) sin 105°.
1588. ¬ычислить sin (30° + α), если sin α = 
, причем α Ч угол 1-й четверти.
1589. ƒано: cos α = Ч 0,6; 180° < α < 270°. Ќайти sin (60° Ч α).
1590. ќпределить sin 35°, если sin 10° = p.
1591. ƒано: tg α = 16/63; ctg β = Ч 1 23/33; 0° < α < 90°; 90° < β < 180°.
Ќайти: 1) sin (α + β); 2) sin (α Ч β).
1592. ƒано: sin (π/4 Ч α) = Ч 0,1√2 ; π < α < 3π/2. Ќайти sin α.
1593. ѕользу¤сь формулами синуса суммы и разности двух аргументов, доказать следующие формулы приведени¤:
1) sin (π/2 Ч α) = cos α; 2) sin ( π/2 + α) = cos α;
3) sin (π Ч α) = sin α; 4) sin (π + α) = Ч sin α;
5) sin (3π/2 Ч α ) = Ч cos α; 6) sin (3π/2 + α) = Ч cos α;
7) sin (2π Ч α) = Чsin α.
1594. ѕользу¤сь формулой синуса суммы двух аргументов, доказать формулу
(задача 1204)
1595. ¬ычислить:
1) sin [arcsin 15/17 + arccos (Ч 12/13 )] ;
2) sin ( arccos 7/25 Ч arctg 4/3) ;
3) sin [arcctg (Ч 1,05) Ч arctg 2,4].
1596*. ¬ыразить через арксинус:
1) arcsin 35/37 Ч arccos 15/17; 2) arctg 9/40 + arccos 4/5;
3) arcctg 1 7/8 Ч arctg 5/12; 4) arcsin 0,8 + arcctg (Ч 2,4).
1597. осинусы двух углов треугольника равны соответственно 12/13 и 20/101 . Ќайти синус третьего угла.
1598. –ешить уравнени¤:
1) sin х Х cos x/2 + cos х Х sin x/2 = 0;
2) sin 5х = sin 2х Х cos 3х;
3) sin х + sin 2х Х cos 3х = 0;
4) sin (35° + х) + sin (25° + х) = cos 5°.
”простить выражени¤.
1599. 1) sin 12° Х cos 18° + sin 18° Х cos 12°;
2) sin 65° Х sin 55° + cos 65° Х cos 55°;
3) sin 4,25 Х cos 1,11 Ч sin 1,11 Х cos 4,25;
4) sin 3π/7 Х sin 5π/21 Ч cos 3π/7 Х cos 5π/21
1600. 1) sin φ Х cos 2φ + cos φ Х sin 2φ;
2) sin (x + 45°) Х cos (x Ч 45°) Ч cos(x + 45°) Х sin (x Ч 45°).
1601. 1) sin α Ч sin (α + β) + cos α Х cos (α + β);
2) sin (15° + α) Х cos (15° Ч α) + sin (15° Ч α) Х cos (15° + α).
1602. 1) sin nx Х cos x ± cos nx Х sin x ;
2) cos nx Х cos x ± sin nx Х sin x.
1603. 1) cos 10° + cos 11° Х cos 21° + cos 69° Х cos 79°;
2) sin 20° + sin 13° Х sin 57° Ч sin 33° Х sin 77°.
1610. 1) sin 6α Х ctg 3α Ч cos 6α ; 2) cos α/2 Х ctg α/4 + sin α/2 ;
1611. 1) cos 2α + sin 2α Х tg α ; 2) cos 2α Ч sin 2α Х ctg α .
1612. 1) sin 20° + 2 sin 40° Ч sin 100°; 2) cos 10° Ч 2 cos 50° Ч cos 70°.
ƒоказать тождества.
1613. 1) sin (α + β) + sin (α Ч β) = 2 sin α Х cos β;
2) sin (α + β) Ч sin (α Ч β) = 2cos α Х sin β.
1614. 1) cos (α Ч β) + cos (α + β) = 2 cos α Х cos β;
2) cos (α Ч β) Ч cos (α + β) = 2 sin α Х sin β.
1615. 1) sin (α + β) Х sin (α Ч β) = sin2 α Ч sin2 β;
2) cos (α + β) Х cos (α Ч β) = cos2 α Ч sin2 β.
1616. 1) cos2 α Ч cos (60° + α) Х cos (60° Ч α) = 0,75;
2) 0,5 sin2 α + sin (π/4 + α) Х sin (π/4 Ч α) = 0,5 cos2 α.
1617. 1) sin 2α + cos 2α Х ctg α = ctg α;
2) sin 2α Ч cos 2α Х tg α = tg α.
1624. 1) sin2 (α Ч 30°) + sin2 (α + 30°) Ч sin2 α = 0,5;
2) cos2 (α Ч 30°) + cos2 (α + 30°) + sin2 α = 1,5.
1625. 1) sin (α + β) Ч sin α Х cos3 β Ч cos α Х sin3 β = sin β Х cos β Х cos (α Ч β);
2) cos (α Ч β) Ч sin α Х sin3 β Ч cos α Х cos3 β = sin β Х cos β Х sin (α + β).
1626. 1) sin α Х sin (β + γ ) Ч sin β Х sin (γ + α) + sin γ Х sin (α + β) = 2 sin α Х cos β Х sin γ ;
2) cos α Х cos (β + γ ) Ч cos β Х cos (γ + α) + cos γ Х cos (α Ч β) = cos (α Ч β Ч γ ).
1627. ¬ыразить sin (α + β + γ) и cos (α + β + γ) через тригонометрические функции углов α, β и γ .
1628. ¬ычислить по таблицам:
1) sin (sin 1) Х sin (sin 2) Ч cos (sin 1) Х cos (sin 2);
2) sin (cos 1,5) Х cos (cos 2,2) Ч sin (cos 2,2) Х cos (cos 1,5).
1629. ƒано: x = A Х sin (m + n); у = A Х sin (m Ч n). ƒоказать x + у = 2A Х sin m Х cos n.
1630. ѕоказать, что величина каждого из следующих выражений не зависит от величины угла α:
1) sin (х + α) (cos х Х cos α + sin х sin α) + sin (х Ч α) (cos х Х cos α Ч sin х sin α);
2) cos (α Ч х) (sin α cos х + cos α sin х) Ч cos (α + х) (sin α cos х Ч cos α sin х).
1631. ѕоказать, что sin (α + β)< sin α + sin β, если α и β Ч острые положительные углы.
1632. ƒоказать неравенства:
1) sin 75° + sin 15° > 1;
2) sin 15° + sin 45° > 0,8;
3) sin 25° + sin 85° > 0,5.
1633. ƒано: tg (α + β) Х sin γ = cos γ. Ќайти зависимость между α, β и γ.
1634*. ƒоказать:
1635. ƒоказать тождество
arcsin m + arccos m = π/2; Ч 1 < m < 1.
ѕривести геометрические по¤снени¤ дл¤ случаев: т > 0 и т < 0.
1636. 1) ¬ыразить через арккосинус π/2 Ч arcsin 0,2.
2) ¬ыразить через арксинус π/2 Ч arccos 2/3
–ешить следующие уравнени¤.
1637. sin (20° + х) + sin (20° Ч х) = 0.
1638. sin (α + х) Ч sin (α Ч х) = 0.
1639. cos (α + х) Ч cos (α Ч х) = 0.
1640. cos (α + sin х) + cos (α Ч sin х) = 0.
1641. cos (α + х) Х cos (α Ч х) + sin2 α = 0,5.
1642. 1 + sin х Х sin 2х = cos х Х cos 2х.
1643. cos х Х cos nx Ч sin х Х sin nx = 1, п =/= Ч 1.
1644. cos х = cos 2х Х cos 3х.
1645. sin 2х Х ctg х Ч cos 2х = tg 3х.
1646. cos 2х + sin 2х Х tg (х Ч π/4) = 1.
1647. sin (х + 30°) + cos (х + 60°) = 2cos2 х.
1648. 2 sin х + sin (π/3 Ч х) = 0.
1649. cos (120° Ч х) + cos (120° + х) = 1.
1650*. –ешить неравенства:
1) tg x Ч tg 2x < 1;
2) ctg x Чctg 2x > 2;
3) tg2 x Х cos2 (x Чπ/12 ) Ч sin2 (x Ч π/12) > 0;
4) cos x Х cos 3π/20 Ч cos π/12 Х cos (x + π/15 ) + cos (x Ч π/12 ) Х cos π/15 < 1/2
1651. ќпределить вид треугольника AB—, если sin C = 2sin B Х cos A.
ќ“¬≈“џ
