8 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
§ 29. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
СУММЫ И РАЗНОСТИ АРГУМЕНТОВ
Теорема сложения для тангенса
1652. Используя определение тангенса и теоремы сложения, доказать следующую формулу:
1653. Дано: tg α = 2/5; tg β = 1/3.
Вычислить: 1) tg (α + β); 2) tg (α — β).
1654. Дано: tg α = 2/3
Найти: 1) tg (45° + α); 2) tg (45° — α).
1655. Вычислить: 1) tg 15°; 2) tg 75°; 3) tg 105°.
1656. Дано: sin α = — 12/13; π < α < 3π/2
Найти: 1) tg (α + 45°); 2) tg (α — 45°).
1657. Дано: tg (α — 45°) = 3. Найти tg α.
1658. Дано: tg α = 1/2; tg β = 1/3. Найти: 1) ctg (α + β); 2) ctg(α — β).
1659. Пользуясь теоремой сложения для тангенса, доказать формулу
1660. Дано: ctg φ = — 0,5.
Вычислить: 1) ctg (45° + φ); 2) ctg (45°— φ).
1661. Вычислить ctg (α + 45°), если sin α = —0,7√2 и α — угол 3-й четверти.
1662. Выразить tg (α + β + γ) через tg α, tg β и tg γ.
1663. Вычислить:
1664. Определить:
1) tg (arctg 0,5 +arctg 1,5); 2) tg [arctg 2/5 — arctg (— 3/7)];
3) tg (arcsin 1/5√2 — arctg 1/9 ); 4) ctg (arccos 0,8 + arctg 2).
1665. Доказать тождество arctg m + arcctg m = π/2 .
Привести геометрическое пояснение для случаев: m>0 и m<;0.
1666. Выразить:
1) 0,5π — arcctg 2 через арктангенс;
2) 0,5π — arctg 0,8 через арккотангенс.
1667*. Проверить равенства:
1) arctg 1/3 + arctg 1/5 = arctg 4/7;
2) arctg 11/8 — arctg 2/5 = arctg 1/2;
3) arctg 2/3 + arcctg 5 = π/4;
4) arcctg 1/9 + arcctg 4/5 = 3π/4:
5) arctg 1 + arctg 2 + arctg 3 = π.
1668. Дано: tg α = 2/5; tg β = 3/7; α и β — острые положительные углы.
Показать, что α + β = π/4
1669. Дано: tg α = — 0,5; tg β = 3; 90° < α < 180°; 0° < β < 90°. Найти α + β.
1670. Дано: tg α = 12/3; tg β = 1/4; α и β — острые положительные углы. Найти α — β.
1671. Найти α + β, если tg α = 5 и tg β = 1,5.
1672. Дано: ctg α = 4/5; ctg β = 1/9; 0° < α < 90°; 0° < β < 90°. Доказать, что α + β = 135°.
1673. Дано: tg α = 1/12; tg β = 2/5; tg γ = 1/3, причем α, β и γ — острые положительные углы. Доказать, что α + β + γ = 45°.
1674. Тангенсы трех положительных острых углов соответственно равны 1/2, 1/3 и 1/7
Доказать, что первый угол равен сумме двух других углов.
Упростить следующие выражения:
ОТВЕТЫ
