8 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
§ 30. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ДВОЙНОГО И ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА
Функции половинного аргумента
1753. Следующие функции выразить через косинус вдвое большего аргумента:
1) cos 1,5x; 2) sin (α — β); 3) cos πx; 4) sin (45°+ φ/2) ;
5) tg (2A — π/8); 6) cos (α — π/4).
1754. Зная, что cos 40° ≈ 0,7660, найти sin 20°, cos 20° и tg 20°. Полученные результаты сравнить с соответствующими значениями в таблицах.
1755. Найти без помощи таблиц синус, косинус и тангенс следующих углов:
1) 22°30'; 2) 15°; 3) 7°30'.
1756. Вычислить:
1) sin α/2, cos α/2 , tg α/2, если cos α = 161/289 и 0° < α < 90°;
2) sin α, cos α и tg α, если sin 2α = 120/169 и 180° < α < 225°;
3) sin 3α/2, cos 3α/2 и tg 3α/2, если tg 3α = 33/7 и 60° < α < 90°.
1757. Зная, что cos α = — 7/25 и l80°< α < 270°, определить тригонометрические функции аргумента 0,25α .
1758. Дано: cos2α = — 527/625 и 45°< α <90°. Вычислить ctg α/2 и ctg α/4.
1759. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 7/9. Определить синус и косинус угла при основании.
1760*. Выразить sin α/2, cos α/2 и tg α/2 через sin α.
1761. tg α/2 и ctg α/2 выразить соответственно через tg α и ctg α.
1762. Определить tg α/2 и ctg α/2, если ctg α = — 2,4 и 270° < α < 360°.
Доказать тождества: .
1763. 1) 1 + cos α = 2 cos2 α/2; 2) 1 — cos α = 2 sin2 α/2.
1764. 1) l + sin α = 2cos2 (45°— α/2); 2) 1 — sin α = 2sin2 (45°— α/2)
Показать, что в каждой из этих формул знак tg α/2 совпадает со знаком sin α для всех допустимых значений α.
Упростить выражения.
1766. 1) √2 (1 + cos 2α) , π/2 < α < π;
2) √0,5 — 0,5 cos 4α , π/4< α < π/2.
1784. Найти наименьшие положительные периоды функций:
1) 2 sin2 x — cos 2х; 2) sin 2x • (ctg x — 2 ctg 2x).
1785. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) 2 cos 2x + sin2 x; 2) sin2 (45°— x) + (sin x — cos x)2.
1786. Решить уравнения:
1) 1 — cos x = 2 sin x/2; 2) 1 + cos x = 2 cos x/2;
3) sin x + cos x = 1; 4) sin x — cos x = 1;
5) sin 2x = tg2 x (1+ cos 2x); 6) 1—cos x = sin x • sin x/2.
1787*. Решить неравенства:
1) sin2 2x < 4 (sin2 x — cos4 x);
2) 1 + 2 cos 2x + cos 4x > 2√3 cos2 x.
ОТВЕТЫ
